Differenza tra aree

[Drazen77]

I punti nella griglia distano un metro l'uno dall'altro.

Quanto misura l'area evidenziata?

[axpgn]

$1-1/12$

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

Giusto, ma, come al solito, a questo punto ti chiedo come abbia fatto a determinare che quel triangolino misuri 1/12

[axpgn]

Spoiler, please!

Il lato alto del quadratino è tagliato a metà dal lato lungo del triangolo grande (Talete) quindi il cateto maggiore del triangolino misura $1/2$
Il triangolino è simile al triangolo rettangolo formato dal lato lungo del triangolo, dal lato alto del quadrato grande e da parte del lato destro del quadrato grande; il rapporto tra i cateti del triangolo grande è $3$ a $2$ quindi il cateto minore del triangolino piccolo vale $1/3$. Il resto lo lascio a te ...

Cordialmente, Alex

[teorema55]

Dopo ore che mi scervello getto la spugna e leggo le motivazioni della soluzione proposta da Alex. Ma.…………...non capisco perché "Il lato alto del quadratino è tagliato a metà dal lato lungo del triangolo grande (Talete) ". Ti chiedo umilmente, Alex, un gentile chiarimento.

Grazie in anticipo.
Marco

[axpgn]

Facciamo che l'origine sta nel circolino in basso a sinistra.
Le rette $y=0, y=1, y=2, y=3$ sono un fascio di parallele orizzontali.
La retta $x=3$ e la retta che contiene il segmento che va da $(3,1)$ a $(0,3)$ sono trasversali al fascio di parallele sopradetto.
La retta $y=2$ taglia a metà il segmento che va da $(3,1)$ a $(3,3)$ e lo interseca nel punto $(3,2)$.
Per Talete allora anche il segmento che va da $(3,1)$ a $(0,3)$ è tagliato a metà dalla retta $y=2$ (che è pure quella che contiene il lato alto del quadratino); il punto di intersezione è $(3/2, 2)$ ma questo è anche il punto medio del lato alto del quadratino.

Cordialmente, Alex

[veciorik]

[teorema55]

Capisco chiaramente il disegno di @veciorik. Per niente invece la spiegazione di Alex, posto che non contenga qualche errore di scrittura.
Il teorema di Talete lo conosco, ma non ne vedo l'applicazione nella fattispecie.

Grazie a tutti.

Marco

[axpgn]

Ma il disegno di veciorik non è una dimostrazione, è una conseguenza!

Denominiamo i vari circoletti con $A, B, ..., O, P$ da sinistra a destra e dall'alto in basso.
Avremo il triangolo grande $ALN$ e il quadratino $FGKJ$.
Chiamiamo $S$ il punto di intersezione tra $LA$ e $FG$ e chiamiamo $T$ il punto di intersezione tra $LA$ e $GK$.
Le rette $AD, EH, IL, MP$ sono un fascio di parallele? Sì
Le rette $LD$ e $LA$ sono due trasversali tagliate da un fascio di parallele? Sì
È vero che $DH=HL$? Sì
È vero perciò che le tre parallele $AD, EH, IL$ dividono il segmento $LD$ in due parti uguali? Sì
E quindi, in forza del teorema di Talete, è vero che le stesse tre rette dividono in parti uguali il segmento $LA$? Sì
E quindi il punto $S$ è il punto medio di $LA$? Sì
Se $S$ è il punto medio di $LA$ allora la sua ascissa sarà $3/2$ (perché $(3+0)/2$) e la sua ordinata sarà $2$ (perché $(1+3)/2$), ma guarda caso queste sono anche le coordinate del punto medio di $FG$ quindi $SG$ misura $1/2$.
Soddisfatto?

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

$\hat{A B C}$ e $\hat{D E F}$ sono triangoli simili e il cateto $\bar{EF}$ misura $1/2$, cioè $1/6$ del cateto corrispondente $\bar{AB}$.

[axpgn]

"Drazen77":

... e il cateto $\bar{EF}$ misura $1/2$, cioè $1/6$ del cateto corrispondente $\bar{AB}$.

Perché? Lo devi dimostrare ...
Che siano simili non c'è dubbio ma tu non conosci nessuno dei lati del triangolino piccolo quindi come puoi dire che il rapporto piccolo/grande vale $1/6$?
D'altronde se conoscessi già il rapporto piccolo/grande che ti serve conoscere la lunghezza del lato del quadratino?
A quel punto sapresti già che il rapporto tra le aree è $1/36$

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

Che il cateto $\bar{EF}$ misuri $1/2$ l'hai dimostrato tu con Talete.
In aggiunta a quello volevo solo evidenziare graficamente il rapporto tra i due triangoli simili.

[axpgn]

Ah, beh ... Ok

[veciorik]

Senza ricorrere esplicitamente a formule o teoremi ..... basta contare le celle del reticolo, il disegno mostra che:

[list=1][*:lhzcpix5]l'area del triangolino rosso è 1/108 del quadrato grande e 1/12 del quadrato piccolo,[/*:m:lhzcpix5][*:lhzcpix5]il segmento obliquo taglia a metà un lato del quadrato piccolo e l'altro lato a 1/3 e 2/3. [/*:m:lhzcpix5][/list:o:lhzcpix5]
La chiave è la struttura reticolare, le cui celle misurano 1/6 dei cateti del triangolo grande.
Perché li ho divisi in 6 parti ?
Perché 6 è il m.c.m. delle loro misure, 2 e 3: in questo modo tutti i pezzi rilevanti stanno sui nodi del reticolo.

L'unico prerequisito è la possibilità di costruire un reticolo di rettangoli uguali.
Non l'ho mai messa in dubbio, nella sezione dei giochi: viva Euclide, riposino in pace Einstein e Riemann.
Non volevo scomodare Talete: a dir la verità ho dimenticato i suoi teoremi.

[axpgn]

Scusami veciorik ma non ci siamo …

Dai per scontato che i punti di intersezione tra lati del quadratino e lato lungo del triangolo grande stiano sul reticolo ma questo è da dimostrare; se così non fosse allora basta dire che si vede a occhio che l'intersezione "superiore" è esattamente a metà ed è finita lì ... IMHO

Cordialmente, Alex

[veciorik]

Non per polemica ma per illustrare il mio modo personale di "giocare a matematica".
Confesso che non studio geometria da quasi cinquant'anni e fatico a maneggiare teoremi e formule.
Mi baso su intuizioni e amo le simmetrie.

Dov'è il punto debole della seguente "dimostrazione" che svolgo pedissequamente per agevolare le eventuali contestazioni ?

Disegno un reticolo di 6 x 9 maglie rettangolari aventi i lati in rapporto 3 : 2.

Il rettangolo composto dalle 6 x 9 = 54 maglie è quadrato ed è scomponibile in nove quadrati da 2 x 3 = 6 maglie.
Serve dimostrarlo ?

Partendo dal vertice nord ovest del quadrato grande, traccio le diagonali di sei maglie contigue muovendo verso sud est fino al lato est, arrivando in un punto distante sei maglie sia dal lato nord sia dal lato ovest del quadrato grande.

Le distanze di questo punto dai due lati sono in rapporto 3 : 2 come le maglie del reticolo.

Ognuna delle sei maglie risulta così suddivisa in due triangoli uguali, di area mezza maglia, cioè un dodicesimo dei quadrati piccoli 2 x 3.

Le figure disegnate da Drazen77 sono il quadrato piccolo al centro ed il triangolo di nord est della quarta maglia.

La dimostrazione si completa dimostrando che la concatenazione delle sei diagonali forma un tratto rettilineo, cioè che i sette nodi toccati sono allineati.

Sostengo che questo è vero per la simmetria della costruzione.

Dove sbaglio ? Dove serve Talete ?

[axpgn]

Ti ho mai chiesto di usare Talete? Ho chiesto di dimostrare quanto sostenevi in qualunque modo volessi.
Questa che hai scritto è una dimostrazione, la quale sta in piedi grazie alla prima frase.
Mi spieghi dal primo disegno come è possibile desumere questa costruzione? A occhio? Dovevamo misurare?

Cordialmente, Alex

EDIT: a occhio si può fare. Sorry.

[teorema55]

@Alex: SI', pienamente.

Grazie comunque a tutti voi ragazzi che avete contribuito a dissipare un dubbio (anzi, a colmare una voragine lasciata dal troppo tempo trascorso dai bei tempi del liceo) e a farmi in qualche modo e per qualche momento ritornare giovane.

Ciao a tutti, ancora grazie.

Affettuosamente.

Marco

[Super Squirrel]

Io l'ho risolto così:

$ { ( A_1+A_2+A_3+A_4=(2+x)/2+1+(xy)/2+(1+y)/2=3 ),( x/3=y/2 ):} $

EDIT: avevo dimenticato lo spoiler!