Dieci prigionieri

[axpgn]

A dieci prigionieri viene dipinto in fronte un numero da $0$ a $9$; i numeri non sono necessariamente tutti diversi, per esempio potrebbero essere sette $5$ e tre $3$.
Se uno di loro indovina quale è il numero che porta in fronte, saranno liberati tutti.
Ogni detenuto potrà vedere i numeri degli altri ma non il suo, ovviamente; nè potranno comunicare tra loro dopo che si saranno visti.
Però, precedentemente, potranno concordare una strategia da seguire.

Quale è la strategia migliore?

Cordialmente, Alex

[veciorik]

Il numero da indovinare $X$, potenzialmente diverso per ogni prigioniero, può essere calcolato come differenza tra $\Sigma(10)$, la somma incognita dei 10, e $\Sigma(9)$, la somma nota dei 9 visibili.
Ossia $X=\Sigma(10)-\Sigma(9)$ che vale anche modulo 10, cioè prendendo solo la cifra delle unità $0-9$.
Ad ogni prigioniero viene assegnata una cifra diversa, corrispondente all'incognita $\Sigma(10)$, con cui calcola $X$.
Uno dei 10 indovina, se non sbaglia i calcoli !!

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"veciorik":

Il numero da indovinare $X$, potenzialmente diverso per ogni prigioniero, può essere calcolato come differenza tra $\Sigma(10)$, la somma incognita dei 10, e $\Sigma(9)$, la somma nota dei 9 visibili.
Ossia $X=\Sigma(10)-\Sigma(9)$ che vale anche modulo 10, cioè prendendo solo la cifra delle unità $0-9$.
Ad ogni prigioniero viene assegnata una cifra diversa, corrispondente all'incognita $\Sigma(10)$, con cui calcola $X$.
Uno dei 10 indovina, se non sbaglia i calcoli !!

Potrei sbagliarmi ma non penso che funzioni nel 100% dei casi.
Numeriamo da \(0 \) a \(9\) i prigionieri. Chiamiamo \(X_i \) il numero disegnato in fronte al prigioniero \(i \). Chiamiamo con \( \sum_i(9) \) la somma che vede il prigioniero \(i \). Inoltre i prigionieri assegnano a ciascun'altro un numero con cui calcolare la somma totale, detto \(Y_i\) il numero assegnatoli, chiamiamo dunque \(\sum(10)= X_i + \sum_i(9) \) e chiamiamo \( \sum_i(10)=Y_i + \sum_i(9) \) la somma calcolata dal prigioniero. Si liberano se almeno per un \(i \) abbiamo che \(X_i = Y_i \), con \( 0 \leq i \leq 9 \).
Mettiamoci nel caso in cui \(X_i = i \), e \(Y_i=9-i \).
O in modo equivalente si liberano se per almeno un \(i \) risulta che \( \sum(10)=\sum_i(10)\).
Abbiamo che \( \sum(10)=45 \) inoltre \( \sum_i(9)=45-i \). Mentre abbiamo che \( \sum_i(10)=9-i+45-i = 54-2i\).
Dunque cerchiamo una soluzione con \(0\leq i \leq 9 \) intero dell'equazione \( 45=54-2i\)
che possiede come soluzione \( i = \frac{9}{2} \). Quindi nessun prigioniero indovina il suo numero.

edit: poi magari è comunque la strategia migliore nel senso che massimizza la probabilità di indovinare, questo non lo so.

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veciorik

Anzi, se ho capito il tuo procedimento, è equivalente all'numerare i prigionieri dall \(0 \) al \(9 \) e sperare che hai azzeccato il numero scritto sulla fronte di almeno uno. Anche con l'esempio di axpgn con sette \(5 \) e tre \(3 \). Tutte le numerazioni dei prigionieri in cui assegni il \(3 \) ad una detenuto con disegnato il \(5\) in fronte ed assegni il \(5 \) ad un detenuto con disegnato il \(3 \) in fronte non vanno bene e nessuno indovina.

Poi magari ho capito male cosa intendi, ma non mi sembra la miglior strategia.

axpgn, non mi è chiaro solo una cosa. Gli altri detenuti sentono il numero detto dagli altri? Oppure no?

Perché se gli altri detenuti possono sentire le risposte degli altri, allora basta assegnare il compito al detenuto che parla per primo di dire un numero che ha visto in fronte a qualcuno e tutti gli altri dicono il numero detto dal primo detenuto, così si ha la certezza assoluta che almeno uno indovina. Ma mi sembra troppo facile quindi dubito che sentano la risposta degli altri.

[veciorik]

@3m0o

"3m0o":
...... i prigionieri assegnano a ciascun'altro un numero con cui calcolare la somma totale, detto \(Y_i\) il numero assegnatoli, chiamiamo dunque \(\sum(10)= X_i + \sum_i(9) \) e chiamiamo \( \sum_i(10)=Y_i + \sum_i(9) \) la somma calcolata dal prigioniero.......

No, forse non ho spiegato bene; riprovo.

\( \ \sum(10) \ \equiv \ X_i \ + \ \sum_i(9) \quad (mod. \, 10) \ \) è la formula generale, valida per ogni \( \ i \, \), con undici incognite: una \( \ \sum(10) \, \), dieci \( \ X_i \, \), e dieci dati sperimentali diversi \( \ \sum_i(9) \, \).
Determinare gli \( \ X_i \ \) sarebbe facile se si conoscesse \( \sum(10) \) che però varia nell'intervallo \( 0-90 \, \).
In modulo 10 basta conoscerne la cifra delle unità, compresa in \( \ 0-9 \, \). Non conoscendola bisogna indovinarla.
Ogni prigioniero somma i numeri che vede, ne prende la cifra delle unità, la sottrae modulo 10 dalla cifra assegnatagli, estratta a sorte in prigione, calcolando infine il suo \( \ X_i \, \).
Nove su dieci sbagliano e uno solo azzecca la \( \ \sum(10) \ mod. \, 10 \) esatta, per pura fortuna.

[veciorik]

Due semplici esempi.

Quello proposto da axpgn: sette $5$ e tre $3$.

Somma $44$. Il prigioniero che becca in sorte $4$ indovina: due casi.
(1) ha un $5$, la somma dei nove numeri visibili vale $39$. Lui calcola $44-39=5$ o meglio \(4-9\equiv 5 \ (mod. \,10)\).
(2) ha un $3$, la somma dei nove numeri visibili vale $41$. Lui calcola $44-41=3$ o meglio $4-1=3$.

Quello proposto da 3m0o: numeri tutti diversi nell'intervallo $0-9$.

Somma $45$. Il prigioniero che becca in sorte $5$ indovina: dieci casi.
Le somme dei numeri visibili variano nell'intervallo $36-45$; sottraendo da $45$ la sua \( \sum_i(9)\), che assume uno dei predetti valori, es. $38$, ottiene come differenza il suo numero, es. $45-38=7$.
In aritmetica modulo 10 il calcolo è \(5-8\equiv 7 \ (mod. \, 10) \).

[axpgn]

Sì, non avevi spiegato benissimo e questo ha lasciato intendere a 3m0o una cosa diversa …
Ma io avevo capito che tu avevi capito

Comunque penso si possa scrivere in modo più semplice ...

I prigionieri si accordano in modo tale da aver ciascuno una cifra diversa.
Ognuno pensa che il totale finisca con la sua cifra: uno (e uno solo ) ha ragione.
Quindi calcola quanto manca alla somma degli altri nove per giungere alla sua cifra.
Questa differenza è il numero che ha in fronte

Cordialmente, Alex

[axpgn]

@3m0o
Non possono comunicare tra loro; solo prima di essere tatuati in fronte.
Comunque penso che ora sia chiaro …

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Okay sì... avevo capito una cosa differente!