DiCube

[axpgn]

Una formica cammina sulla superficie di un DiCube ossia un parallelepipedo rettangolo dalle dimensioni $1 xx 1 xx 2$.

1) Se la formica parte da uno dei vertici, quale punto si trova alla maggior distanza?

2) Quali sono i due punti sulla superficie del cubo più distanti fra loro?


Cordialmente, Alex

[Drazen77]

Non credo di aver capito la differenza tra le due domande,
mi sembra che la risposta sia per entrambe "il vertice diametralmente opposto"...

[axpgn]

La risposta non è quella per nessuna delle due domande.

La formica cammina sulla superficie del DiCube e così facendo può raggiungere qualsiasi punto della superficie partendo da qualsiasi punto della superficie. Ok?
Il percorso della formica da punto a punto è sempre il più breve possibile. Ok?

1) Se il punto di partenza della formica è un vertice, qual è il punto più lontano che può raggiungere ovvero quello per cui deve compiere il percorso più lungo per essere raggiunto?

2) Quali sono i due punti sulla superficie del DiCube per cui la formica deve compiere il percorso più lungo per andare dall'uno all'altro?

[axpgn]

Nessuno?

[gabriella127]

Dò giusto un'idea per trovare la soluzione, non ho fatto quasi calcoli, li lascio a qualcuno, se ne ha voglia.

L'idea è quella di appiattire il DiCube per visualizzare una possibile soluzione, come se fosse di carta e lo avessi ritagliato.
La formica cammina come le pare, farà percorso rettilinei per minimizzare, che si vedono meglio sul DiCube appiattito.
Da qui si vede che il posto più lontano non è il vertice opposto.




Le lunghezze dei percorsi segnati con le frecce, se non ho sbaglaito i calcoli, sono: $a=2,828, b=3, c=3,04$.
Tra i tre, il punto $C$ è il più lontano. Non ho calcolato se ci possono stare punti più lontani di $C$.

[axpgn]

L'idea è giusta ma ... (hint) va "applicata" diversamente , peraltro il punto $C$ non è il più lontano

Cordialmente, Alex

[gabriella127]

Infatti, è quello che ho detto, che non so se C è il più iontano, bisogna fare calcoli, e cercare varianti, io mi limitavo a dare un'impostazione per risolvere il problema

[axpgn]

1) Ecco il punto.

Il punto più lontano partendo da uno dei vertici (p.es. $A$) è il punto $P$ che si trova sulla faccia (quadrata) opposta a quella (quadrata) dove si trova il punto di partenza, sulla diagonale che parte dal vertice opposto a quello di partenza e ad una distanza di un quarto di diagonale dal vertice opposto a quello di partenza.

Cordialmente, Alex

[gabriella127]

Ma io non mi trovo. Non ho fatto calcoli, ma ho misurato con un righello, tipo compasso, e mi risulta più lontano il punto medio del segmento a sinistra di $B$, cioè il punto $C$ del mio disegno precedente.

[axpgn]

Ho mostrato dov'è il punto non la strada ma soprattutto non ho mostrato la strada più corta per raggiungere gli altri


Cordialmente, Alex

[gabriella127]

Ah non è più la linea retta la più corta tra due punti!

[axpgn]

Certo che lo è

[gabriella127]

Pensavo a una nuova geometria su Marte

[axpgn]

Ecco ...

Cordialmente, Alex

[gabriella127]

Non ho capito niente. Il punto medio tra C e B (punto C del mio disegno) mi sembra più lontano da A di P.
E poi, ma quanti lati ha questo dicubo?

[axpgn]

In generale, un solido si può "aprire" sul piano in vari modi.

Per esempio, questo è un modo di "aprire" il DiCube.

Visto così sembra che i punti del segmento $BC$ (in fucsia) e parte di quelli del segmento $BE$ (in verde) siano più lontani dal punto $A$.
Ma se invece lo apri in quest'altro modo

vedi che tutti i punti del segmento $BE$ (in verde) in realtà sono più vicini ad $A$ di quanto lo sia il punto $P$
Allo stesso maniera, se lo apri in un altro modo ancora, come questo

vedi che buona parte del segmento $BC$ (in fucsia) sono più vicini ad $A$ del punto $P$.
E ci sono ancora altre modalità che coprono i casi che restano.
Come puoi notare, in ogni immagine le facce del DiCube sono sempre $6$ e sono sempre le stesse.

Cordialmente, Alex

[gabriella127]

Questo è evidente, ma nella tua prima figura ci sono dieci lati, mica sei. Che sono? Diverse modalità sovrapposte?

[axpgn]

Sì.

[gabriella127]

Ah vabbe', domani riguardo.

[axpgn]

2)

I due punti si trovano lungo la diagonale vicino al punto $P$ determinato nel quesito precedente ed il suo opposto sull'altra faccia quadrata.
I punti distano dai vertici $(sqrt(3)-1)/2$, lungo la diagonale e sono distanti $3.0119...$

Cordialmente, Alex