Di che colore sono le palline?

[Studente Anonimo]

Ho un sacchettino con 5 palline numerate dallo 0 al 4. Ogni pallina può essere bianca oppure nera. Ho costruito un polinomio \(P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 \) nel seguente modo:
Il coefficiente \( a_j \) è uguale al numero di palline bianche non contando il colore della \(j\)-esima pallina. Ad esempio se tutte le palline sono bianche avremmo che \(a_0 = 4 \) perché in totale ci sono 5 palline bianche ma non conto il colore della pallina 0, che è bianca. Quindi conto 4 palline bianche tra le altre.
Sapendo che \(P(1)=12 \) e \(P(2)=80 \). Di che colore sono le palline?

[veciorik]

B B N B N

[Studente Anonimo]

Veciorik

No, ma come hai fatto a ottenere quel risultato?

[veciorik]

Avevo sbagliato un calcolo banale.

$P(1)=12$ è la somma dei cinque coefficienti, quindi 3 $a_j$ valgono 2 (bianche) e 2 $a_j$ valgono 3 (nere).

$P(2)=80=2(1+2+4+8+16)+1(2+16)$ quindi $a_1=a_4=3$ ossia B N B B N

[Studente Anonimo]

Ok sì

Era facile, ma lo trovavo carino come problema
Anche se per ottenere il colore dei cappelli ho fatto leggermente in modo diverso.
Ovvero sapendo che ci sono 3 cappelli bianchi dalle due informazioni ho dedotto che
\[ a_1 = 68 - 3a_2 + 7 a_3 + 15 a_4 \]
siccome sono 3 bianchi allora almeno uno di questi tre coefficienti (a destra) vale 2, gli altri valgono 2 oppure 3. Mentre il coefficiente a sinistra può essere o 2 oppure 3.
Chiamiamo con \( (a_2,a_3,a_4) \) i tre coeff. a destra, tra le 7 combinazioni possibili solo una restituisce un risultato possibile che è \( (2,2,3) \).

[axpgn]

$2$ nere e $3$ bianche.

$2+3x+2x^2+2x^3+3x^4$

Cordialmente, Alex

[Studente Anonimo]

[Bokonon]

BNBBN