Destinazioni strane

[FreddyKruger]

La biglietteria di una stazione vende biglietti ferroviari per 200 possibili destinazioni.
Un giorno 3800 passeggeri acquistano un biglietto. Dimostrare che almeno 6 stazioni di arrivo ricevono lo stesso numero di passeggeri,ma non è detto che 7 stazioni possano dire altrettanto.

[spluk1]

Le 200 stazioni di arrivo si possono raggruppare in 40 insiemi formati da 5 stazioni, ognuna delle quali riceve lo stesso numero di passeggeri. Nel primo insieme di stazioni arriveranno 0 passeggeri, nel secondo arriverà 1 passeggero per stazione, nel terzo arriveranno 2 passeggeri, e così via. I passeggeri necessari alla realizzazione della situazione appena descritta sono $ 5*0+5*1+5*2+5*3+...+5*38+5*39=5(1+2+3+...+38+39)=(5*39*40)/2=3900>3800 $ . Pertanto con 3800 passeggeri è necessario che almeno 6 stazioni abbiano ricevuto lo stesso numero di passeggeri (in quanto è impossibile che in ogni insieme di 5 stazioni arrivi un numero diverso di passeggeri). Ripetendo il ragionamento precedente con insiemi di 6 stazioni (33 insiemi di 6 stazioni e 1 insieme di 2 stazioni) si vede che la situazione è possibile; infatti $ 6*0+6*1+6*2+...+6*31+6*32+2*33=6(32*33)/2+66=3234<3800 $ . Ciò significa che sono sufficienti 3234 passeggeri per creare una situazione in cui 6 stazioni possono ricevere lo stesso numero di passeggeri; i passeggeri in eccesso possono essere collocati nell'ultima stazione. Poiché una situazione del genere è possibile, una situazione diversa da questa non è necessaria(seconda richiesta del problema).

[FreddyKruger]

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