Dadi pari e dispari

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In una partita a dadi con un dado solo, due giocatori $A$ e $B$ puntano su una terna di numeri che possono uscire nei successivi lanci.
Però non puntano sul valore numerico ma solo sul fatto che i numeri siano pari ($P$) o dispari ($D$).
Scelte le sequenze, si lancia il dado fin tanto che esce una delle due.
Poniamo che il giocatore $A$ abbia puntato sulla sequenza $PPP$ mentre il $B$, che aveva inizialmente pensato di puntare sulla sequenza $DPP$, cambia idea e punta sulla sequenza $DDD$.
Le probabilità di vincere di $B$ sono aumentate, diminuite o son rimaste le stesse?

Cordialmente, Alex

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Diminuite!
Con la sequenza \(DPP\), il giocatore \(A\) ha probabilità \(1/8\) di vincere e \( 7/8 \) di non vincere. Mentre \(B\) ha probabilità \(1/8\) di vincere nei primi 3 lanci e \(6/8\) di vincere quasi sempre.
Infatti tolta la possibilità che nei primi 3 lanci la sequenza sia \(PPP\) allora per \(A\) diventa impossibile vincere perché in qualunque modo deve passare dalla sequenza \(DPP\) prima di arrivare a \(PPP\).
Supponiamo per assurdo che \(A\) abbia vinto al \(n\)-esimo lancio con \(n>3\).
Abbiamo con \((a_i)_{i\in \mathbb{N}} \subset \{ \emptyset, P, D\} \) i risultati dei lanci.

Con \(n=4\) abbiamo che \(a_4=a_3=a_2= P \). Se \(a_1 = D \) allora \(B\) vince al terzo lancio. Allora \(a_1=P\) ma dunque \(A\) vince al terzo lancio. Quindi \(A\) non può vincere al 4 lancio.
Supponiamo che \(A\) non possa vincere al \((n-1)\)-esimo lancio. Con \(n-1 \geq 4 \).
Supponiamo per assurdo che \(A\) abbia vinto al \(n\)-esimo lancio con \(n>4\), allora abbiamo \(a_n = a_{n-1} = a_{n-2} = P\). Se \(a_{n-3}=P\) allora \(A\) avrebbe vinto al \((n-1)\)-esimo lancio, impossibile per ipotesi di induzione, quindi \( a_{n-3}=D\) e \(B\) ha vinto al \((n-1)\)-esimo lancio. Assurdo!
E dunque \(A\) dopo i primi 3 lanci ha probabilità \(0\) di vincita. Mentre dopo i primi 3 lanci \(B\) ha probabilità \(1\) di vincita. Quindi la vittoria dopo i primi 3 lanci per \(B\) è quasi certa!
Mentre con la sequenze \(DDD\) per \(B\), \(A\) può vincere ad esempio con la sequenza \(DPPP\) al quarto lancio. Fissato un \(n\) esiste almeno una sequenza per \(A\) di lunghezza \(n\) che lo porta alla vittoria.

Ma non solo, credo pure, ma non ho fatto i calcoli esplicitamente, che in media la partita finisca prima con la scelta \(PPP\) e \(DPP\) rispetto alle scelte \(PPP\) e \(DDD\) poiché in media la sequenza \(DPP\) esce prima delle sequenze \(DDD\) o \(PPP\), non solo ha più probabilità di vittoria con \(DPP\) ma la partita, in media, finisce prima.

[axpgn]

Ok

Però mi sembra che l'hai fatta troppo complicata ... ... o meglio, l'hai allungata troppo ...

Se $B$ avesse giocato quello che aveva pensato inizialmente ovvero $DPP$, l'unica possibilità di perdere contro $PPP$ è unica, per l'appunto ovvero che i tre lanci iniziali fossero $PPP$.

Cordialmente, Alex

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Edit:

Ho semplicemente dimostrato che effettivamente \(A\) non può vincere se non nei primi 3 lanci, sotto le opportune ipotesi.
Ovvero ho dimostrato questa proposizione:

Se $B$ avesse giocato quello che aveva pensato inizialmente ovvero $DPP$, l'unica possibilità di perdere contro $PPP$ è unica, per l'appunto ovvero che i tre lanci iniziali fossero $PPP$.

Perché una proposizione va dimostrata anche se evidente, anche perché insomma è la parte più bella
Però erano le 2 di notte quindi sì sono, magari, stato poco lucido e diretto nel farlo