Da uno a due

[axpgn]

Mostrare che, dato un qualsiasi triangolo, è possibile sezionarlo con tagli rettilinei in quattro pezzi, in modo tale che possano essere ricomposti a formare due triangoli simili a quello dato (ovviamente più piccoli).


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Che fatica ad arrivarci in fondo.... sembra facile, ma...


Per chi vuole giocare con Geogebra...

Mi sono divertito a giocare con Geogebra ed e' saltata fuori questa cosa simpatica:
https://www.geogebra.org/m/hmtyggva
Si usa cosi:
- muovere il punto A in alto a piacere (quasi) in modo da modificare il triangolo.
- muovere il punto D (si trova sulla sinistra) in su o in giu' fino a che H sia attraversato dal segmento B'C'
- Il triangolo originale ABC viene diviso nei triangoli simili A'B'C' e AA'G.
- In termini di aree si ha che ABC = A'B'C' + AA'G.
- I "tagli" da effettuare sono A'C', A'B' e GH.

Nello spoiler seguente la dimostrazione... (i nomi usati non sono necessariamente gli stessi in Geogebra)

Sia ABC un triangolo con angolo A maggiore degli altri.
Si effettui un taglio parallelo a BC che attraversa AB nel punto C', e attraversa AC nel punto D.
Si effettui un secondo taglio iniziando da C' e attraversando BC nel punto A'.
Un terzo taglio inizia da D e attraversa BC in modo perpendicolare, nel punto H.
I tagli sono realizzati in modo che sia:
A'C' = A'H,
A'BC' simile ad ABC (in modo speculare e con A = A', C = C').

Ora si ruoti A'BC' di 180^ attorno ad A' fino a sovrapporre C' ad H.
Si ribalti quindi A'BC' rispetto a A'C'.
La posizione occupata da C' prima dello spostamento si chiami ora E.
Si ribalti poi CDH in modo da scambiare D ed H.

Si ha che ADE e' simile ad ABC, avendo in comune A e per il teorema delle parallele.

Il triangolo CEB e' simile ad ABC avendo in comune C e B.
Si noti che il segmento CB non e' una spezzata ma effettivamente un segmento essendo gli angoli nel vertice H di misura:
(90^ - C), 90^, C che sommati danno 180^.

Non cerco di dimostrare che sia sempre possibile realizzare i tagli che soddisfino le condizioni richieste.
Mi "accontento" che e' ragionevole pensare che esista comunque, dato un triangolo qualsiasi, una permutazione di ABC, con A l'angolo piu' grande, che permetta di realizzare le condizioni.

[axpgn]

"Quinzio":Che fatica ad arrivarci in fondo.... sembra facile, ma...

Anche per me seguire la tua non è proprio banale

Bravo!

Mi pare di poter dire che sostanzialmente la mia e la tua si equivalgano ...

Tutti i tagli sono paralleli ai lati del triangolo.
Quando i pezzi vengono ricomposti, solo il pezzo 2 viene ruotato di 180°.
I tagli devono essere fatti in modo tale che sia:

- $(AD)/(AB)=1/5$

- $(AE)/(AC)=3/5$

- $(AF)/(AC)=4/5$

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

"axpgn":
Mi pare di poter dire che sostanzialmente la mia e la tua si equivalgano ...

Beh, direi che sono diverse. Nel tuo disegno non vedo il taglio perpendicolare ad un lato.
Ma forse e' una questione grafica. Con un po' di tempo guardo con calma la tua soluzione.