Curiosita' 2:il pescatore
la canna da pesca AB di un pescatore seduto in riva di un lago nel punto A e' lunga 2m, e forma un angolo O con il piano dell'acqua. la parte di lenza BG tra l'estremita' della canna da pesca e il galleggiante G e' lunga 4m. per portare a riva un'insperata presa, la canna da pesca viene alzata con una velocita' angolare 1.5rad/s. si determini la velocita' del gallegiante G quando O=pi/4rad.
si determini a che distanza dalla riva e' massima la velocita' del galleggiante supponendo BG=2m.
si determini a che distanza dalla riva e' massima la velocita' del galleggiante supponendo BG=2m.
Risposte
Chiamiamo L=2m la lunghezza della canna e l=4m la lunghezza della lenza. omega=1,5 rad/s è la velocità angolare della canna. O=pi/4
Il punto B si muove con velocità lineare vB=omega*L
vB forma con l'acqua un angolo pi/2-O.
Troviamo come variano le coordinate di B dopo un istante di tempo dt.
Bx'=Bx - vB*dt*cos(pi/2-O) = Bx - omega*L*sin(O)*dt
By'=By + vB*dt*sin(pi/2-O) = By + omega*L*cos(O)*dt
Inoltre O=pi/4+omega*t
Chiamiamo alfa l'angolo AGB
AGB = arcsin(By/l)
AG = Bx + l*cos(AGB) = Bx + sqrt(1-(By/l)^2)
Facciamo la derivata rispetto al tempo di AG:
d/dt AG = -1/[ sqrt(1-(By/l)^2) ] By/l * d/dt By
d/dt By = (By'-By)/dt = omega*L*cos(O)
Quindi la velocità di G è (sostituendo By e d/dt By) vG:
vG= -By*omega*L*cos(O)/l * 1/sqrt(1-(By/l)^2)
By=Lsin(O)=2*sqrt(2)/2=sqrt(2)
vG= -3/2 * sqrt(2/7) = -80,18 cm/s
Per la distanza max puoi fare la derivata di vG...
dopo un po' di sostituzioni possiamo riscrivere vG.
vG= -omega*By* sqrt[ (L^2-By^2) / (l^2-By^2) ]
dopo tanti conti... li ometto... si arriva a porre a 0 il numeratore della derivata (rispetto a By) e si ottiene la seguente equazione:
By^4 - 2*l^2 By^2 + L^2 l^2 = 0
quindi:
By = sqrt( l^2 - sqrt(l^4 - L^2 * l^2) )
O = arccos(sqrt(1-(By/L)^2))
Basta sostituire i dati nelle formule per ottenere AG=2.29 m. Questo senza cambiare il valore di BG come suggerisce il teso e non capisco perché...
Il punto B si muove con velocità lineare vB=omega*L
vB forma con l'acqua un angolo pi/2-O.
Troviamo come variano le coordinate di B dopo un istante di tempo dt.
Bx'=Bx - vB*dt*cos(pi/2-O) = Bx - omega*L*sin(O)*dt
By'=By + vB*dt*sin(pi/2-O) = By + omega*L*cos(O)*dt
Inoltre O=pi/4+omega*t
Chiamiamo alfa l'angolo AGB
AGB = arcsin(By/l)
AG = Bx + l*cos(AGB) = Bx + sqrt(1-(By/l)^2)
Facciamo la derivata rispetto al tempo di AG:
d/dt AG = -1/[ sqrt(1-(By/l)^2) ] By/l * d/dt By
d/dt By = (By'-By)/dt = omega*L*cos(O)
Quindi la velocità di G è (sostituendo By e d/dt By) vG:
vG= -By*omega*L*cos(O)/l * 1/sqrt(1-(By/l)^2)
By=Lsin(O)=2*sqrt(2)/2=sqrt(2)
vG= -3/2 * sqrt(2/7) = -80,18 cm/s
Per la distanza max puoi fare la derivata di vG...
dopo un po' di sostituzioni possiamo riscrivere vG.
vG= -omega*By* sqrt[ (L^2-By^2) / (l^2-By^2) ]
dopo tanti conti... li ometto... si arriva a porre a 0 il numeratore della derivata (rispetto a By) e si ottiene la seguente equazione:
By^4 - 2*l^2 By^2 + L^2 l^2 = 0
quindi:
By = sqrt( l^2 - sqrt(l^4 - L^2 * l^2) )
O = arccos(sqrt(1-(By/L)^2))
Basta sostituire i dati nelle formule per ottenere AG=2.29 m. Questo senza cambiare il valore di BG come suggerisce il teso e non capisco perché...