Curiose diseguaglianze

[JvloIvk]

1)Dimostrare che per ogni x ed y reali
(sen²x+sen²y)(cos²x+cos²y)>=sen²(x+y)

2)Dimostare che per ogni 0= (senx)^3/cosx+(cosx)^3/senx>=1

[Thomas16]

spezzo una lancia in favore di queste disuguaglianze, che hanno il pregio di non richiedere teoria extra-scolastica e di essere quindi alla portata di tutti...

un bravo ad JvloIvk per averli postati!

[jack110]

1)moltiplicando i fattori al primo membro, e ricordando che sin(x+y)=sinxcosy +sinycosx, arrivo ad avere (tralascio le semplificazioni):
sin^2(x)cos^2(x) +sin^2(y)cos^2(y) -2sinxcosxsinycosy>=0 cioè
(sinxcosx-sinycosy)^2>=0, il che è sempre vero, perchè il quadrato di un numero reale è un numero positivo...

ciao

[JvloIvk]

quote:

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Originally posted by jack

1)moltiplicando i fattori al primo membro, e ricordando che sin(x+y)=sinxcosy +sinycosx, arrivo ad avere (tralascio le semplificazioni):
sin^2(x)cos^2(x) +sin^2(y)cos^2(y) -2sinxcosxsinycosy>=0 cioè
(sinxcosx-sinycosy)^2>=0, il che è sempre vero, perchè il quadrato di un numero reale è un numero positivo...

ciao

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Il metodo è corretto.Un unica cosa...Devi discutere il caso in cui si ha l'eguaglianza(la diseguaglianza può essere stretta).In questo caso è molto semplice(x=y) ma è importante farlo...

[jack110]

ooops...me l' ero completamente dimenticato [:P]...

[iteuler]

quote:

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Originally posted by JvloIvk


2)Dimostare che per ogni 0= (senx)^3/cosx+(cosx)^3/senx>=1

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dunque,
[(sinx)^4+(cosx)^4-sinxcosx]/sinxcosx>=0
{[(sinx)^2+(cosx)^2]^2-2(sinx)^2(cosx)^2-sinxcosx}/sinxcosx>=0
(1-2(sinx)^2(cosx)^2-sinxcosx)/sinxcosx>=0

posto ora sinxcosx=y è lecito considerare y>0 per ogni x, visto che nell' intervallo (0;pi/2) (intervallo aperto, non chiuso suppongo) entrambe le funzioni goniometriche assumono solo valori positivi

(1-2y^2-y)/y>=0
dato che il denominatore è sempre positivo discutiamo il numeratore
(1-2y^2-y)>=0
tenendo conto della condizione y>0 la disequazione è verificata per 0=
sinxcosx=<1/2
sin2x=<1 sempre verificata
c.v.d.

[JvloIvk]

La soluzione è corretta.
Dimostare che se x+y+z=pi allora
tg(x)+tg(y)+tg(z)=tg(x)tg(y)tg(z)

[Thomas16]

la sol di iteuler della seconda è quella che avevo in mente anch'io all'inizio e quella che mi pare più naturale... Ne posto un'altra che magari a qualcuno di voi può interessare, dato che grazie ad una dis standard evita un pò di calcoli. Prima si svolgono mcd e calcoli, considerano l'intervallo nel quale lavoriamo. Poi

considerando le serie (cosx,senx) (cos^3x,sen^3x) ed applicando la dis di riarrangiamento:

sen^4x+cos^4x >= cosxsen^3x+senxcos^3x = senx*cosx

carino?

[JvloIvk]

quote:

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Originally posted by Thomas

la sol di iteuler della seconda è quella che avevo in mente anch'io all'inizio e quella che mi pare più naturale... Ne posto un'altra che magari a qualcuno di voi può interessare, dato che grazie ad una dis standard evita un pò di calcoli. Prima si svolgono mcd e calcoli, considerano l'intervallo nel quale lavoriamo. Poi

considerando le serie (cosx,senx) (cos^3x,sen^3x) ed applicando la dis di riarrangiamento:

sen^4x+cos^4x >= cosxsen^3x+senxcos^3x = senx*cosx

carino?

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Il riordinamento lo puoi applicare direttamente al testo.
Le 2 serie (sen^3x cos^3x) (1/cosx 1/senx) sono monotone dello stesso segno.Quindi
(senx)^3/cosx+(cosx)^3/senx>=cos^2x+sen^2x=1

[Thomas16]

E io che pensavo di essermi reso utile ... beh magari per qualcuno lo sono stato!

[iteuler]

quote:

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Originally posted by JvloIvk

La soluzione è corretta.
Dimostare che se x+y+z=pi allora
tg(x)+tg(y)+tg(z)=tg(x)tg(y)tg(z)

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Sviluppiamo un po' di calcoli e concentriamoci sul numeratore
[sin(x)cos(y)cos(z)+sin(y)cos(x)cos(z)]+sin(z)cos(x)cos(y)=sin(x)sin(y)sin(z)

mettiamo in evidenza tra i primi due cos(z) e tra il terzo (portato al secondo membro) e il quarto sin(z) e serviamoci delle formule di addizione

cos(z)sin(x+y)=-sin(z)cos(x+y)

dato che x+y+z=pi -> x+y=pi-z

cos(z)sin(pi-z)=-sin(z)cos(pi-z)
cos(z)sin(z)=sin(z)cos(z)

[JvloIvk]

Lascia tutto in tangente(ti semplifichi la vita)!!!