Cubo con facce numerate

[Drazen77]

Vi propongo questo gioco di cui non ho compreso la soluzione neanche dopo averla letta...

Su ciascuna faccia di un cubo è scritto un numero intero positivo; ad ogni vertice del cubo viene assegnato il numero che è il prodotto dei numeri scritti sulle facce che hanno quel vertice in comune.
La somma di tutti i numeri assegnati ai vertici è 1001.
Qual è la somma di tutti i numeri che sono scritti sulle facce?

[Brancaleone1]

Provo

Siano $a, b, c, d, e, f$ i valori scritti sulle facce del cubo - dove $a, b, c, d$ stanno sulle facce laterali, $e$ è sulla faccia superiore ed $f$ su quella inferiore. Allora la somma dei prodotti sui vertici si può scrivere:

$abe+bce+cde+ade+abf+bcf+cdf+adf=1001$

che si può riadattare raccogliendo in questo modo:

$ab(e+f)+bc(e+f)+cd(e+f)+ad(e+f)=1001$

$abX+bcX+cdX+adX=1001$ dove $X=(e+f)$

$aX(b+d)+cX(b+d)=1001$

$aXY+cXY=1001$ dove $Y=(b+d)$

$XY(a+c)=1001$

$XYZ=1001$ dove $Z=(a+c)$

In questo modo 1001 appare come prodotto di tre divisori, che possono essere solo 7, 11 e 13, ma ognuno di questi corrisponde alla somma di due facce tutte diverse tra loro! Quindi la somma delle sei facce del cubo è uguale alla somma di questi tre numeri, che è 31.

[Drazen77]

Giusto