Cubi colorati

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In un ammasso di pezzi di legno da costruzione, c'è un certo numero di blocchi cubici.
Le sei facce di ogni singolo cubo sono dipinte ciascuna di un colore, in modo che due facce adiacenti non abbiano mai lo stesso colore.
Tenendo presente che sono stati utilizzati solo cinque colori e nessun blocco è stato dipinto in modo identico ad un altro, qual è il numero massimo di blocchi cubici presenti nell'ammasso di pezzi di legno da costruzione?


Cordialmente, Alex

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Così, su due piedi direi

\[ \binom{5}{3} \cdot \binom{2}{0} + \binom{5}{2} \cdot \binom{3}{1} + \binom{5}{1} \cdot \binom{4}{2} =70 \]

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No, siediti che è meglio

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Mmh... a me sembra proprio corretto il mio ragionamento. Un cubo ha 6 facce, meno di 3 colori non si possono usare altrimenti ci sono almeno due facce adiacenti colorate con il medesimo colore.
-Scelti 3 colori tra 5 abbiamo un modo solo di colorarlo, a meno di rotazioni la colorazione è identica. Infatti coloriamo due facce opposte con il medesimo colore.

-Scelti 4 colori tra 5, abbiamo necessariamente che tutti i colori sono ripetuti non più di 2 volte. L'unico modo di fare \(6\) con quattro numeri che sono \(1\) oppure \(2\) è: \(2+2+1+1 \). Dunque di questi 4 colori abbiamo due sono ripetuti due volte ( usati per colorare due facce, necessariamente opposte) e gli altri due colori sono usati per colorare le restanti due facce opposte. Scelti i colori, a meno di rotazioni, la colorazione è unica.
Dunque dobbiamo scegliere 2 colori tra 5 da usare due volte e 2 colori tra 3 da usare una volta sola (o equivalentemente 1 colore tra 3 da non usare).

- Scelti 5 colori tra 5. Abbiamo un modo solo di creare 6 con 5 numeri che sono \(1\) oppure \(2\). Che sono \(2+1+1+1+1 \). Dunque un unico colore si ripete due volte, e necessariamente dobbiamo colorare due facce opposte. Dunque dobbiamo scegliere 1 colore tra 5 da usare due volte. A differenza degli altri casi, non tutte le colorazioni sono uniche a meno di rotazioni. L'unica cosa che conta è quale colore si sceglie da essere opposto di faccia. Quindi scegliamo due colori tra i 4 restanti da usare per colorare due facce opposte ancora non colorate, gli ultimi due sono forzati. A meno di rotazioni la cosa non cambia (scambiando le facce ad esempio) ma rimanendo con la stessa scelta di colori usati per facce opposte.

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Ti sbagli sull'ultimo caso

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E perché?
Metti il cubo in un sistema di assi \(Oxyz \), di lato \(2 \) e centrato nell'origine.
Un colore, ed uno solo, dev'essere usato 2 volte. E fin qui okay. Con questo colore necessariamente dipingiamo due facce opposte. Senza perdita di generalità diciamo che coloriamo le facce che si trovano nel piano \( Oxy + z \) e \( Oxy - z \) (quella in "alto" e quella in "basso").
Ora chiamiamo i restanti colori con i numeri, 1,2,3,4.
Diciamo che coloriamo a partire da una faccia (fissata) in ordine (facendo un giro in senso orario) le facce con 1, poi con 2, poi con 3 e poi con 4. L'unica cosa che distingue questa colorazione dalle altre è il fatto che 1 è opposto a 3. Infatti colorandole invertendo 1 e 3 basta fare una rotazione del cubo. Invertendo 2 e 4, basta fare due rotazioni. Invertendo 1 e 3 ed invertendo 2 e 4 basta fare una rotazione.

Possiamo mettere quindi 1 opposto a 2, 1 opposto a 3, 1 opposto a 4, 2 opposto a 3, 2 opposto a 4, ed infine 3 opposto a 4. In totale 6 modi differenti che è anche i modi di scegliere 2 colori tra i 4 restanti.

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Hai ragione, ho contato doppio qui:

"3m0o":
Possiamo mettere quindi 1 opposto a 2, 1 opposto a 3, 1 opposto a 4, 2 opposto a 3, 2 opposto a 4, ed infine 3 opposto a 4. In totale 6 modi differenti che è anche i modi di scegliere 2 colori tra i 4 restanti.

sono quindi al più 55.

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Vedi che ogni tanto ho ragione anch'io?


Cordialmente, Alex

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Mah... tu hai spesso ragione, il fatto che tu mi contraddica mi fa pensare che io abbia fatto un errore da qualche parte e cerco di scovarlo, poi se un ragionamento mi sembra corretto (indipendentemente dal fatto che lo sia o meno) non ci posso fare nulla

[axpgn]