Cubi

[axpgn]

1)
Un certo numero di cubi di lato unitario viene assemblato a formare un cubo più grande.
Quindi, una o più facce del grande cubo vengono dipinte.
Asciugatasi la pittura, il cubo grande viene smontato.

a) Supponiamo che dopo la scomposizione vengano trovati $45$ cubi unitari senza che ci sia pittura su nessuna delle loro facce.
Quante facce del cubo grande sono state dipinte?

b) Supponiamo invece che dopo la scomposizione, i cubi unitari non dipinti siano esattamente cento.
Quante facce del cubo grande sono state dipinte?


2)
Centoventicinque cubi di lato unitario sono incollati faccia a faccia in modo da formare un cubo grande dalle dimensioni di $5 xx 5 xx 5$.

a) Quante coppie di cubi unitari sono state incollate (una faccia unitaria contro una faccia unitaria)

b) Supponendo che ci voglia un minuto ogni volta che vengono incollati due pezzi, qual è il modo più efficiente per farlo e quanto tempo ci vorrà?


Cordialmente, Alex

[Drazen77]

1a) $4$:
Un cubo $5 xx 5 xx 5$ ha $98$ cubetti esterni e $27$ interni.
Se non coloriamo due facce opposte, i cubetti non colorati saranno $9+9$ (i centrali delle due facce opposte non colorate) e i $27$ interni. $9+9+27=45$.

1b) $1$:
Ancora un cubo $5 xx 5 xx 5$. Colorando una sola faccia avremo $98-25=73$ cubetti esterni non colorati e i $27$ cubetti interni. $73+27=100$.

[axpgn]

1a) Ok

1b) Non è completa


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

1)
Colorare una faccia equivale a rimuovere lo strato di cubetti che componevano la faccia.
Quindi, ad es., colorare una faccia di un cubo $n * n * n$ significa rimanere con un blocco di $(n-1) * n * n$ cubetti.
Colorando piu' facce, in generale si rimane con $(n-i) * (n-j) * (n-k)$ cubetti, con $i, j, k \in {0,1,2}$.
Sapendo il numero $m$ di cubetti rimasti (non pitturati) si deve trovare una fattorizzazione di $m$ composta da 3 fattori tale per cui i fattori differiscano tra di loro al massimo di $2$.
Quindi per
a) $m = 45$ avremo $45 = 3 * 3 * 5 = (5-2) * (5-2) * 5$ e quindi sono state pitturate $2+2 = 4$ facce.
b) $m = 100$ avremo $100 = 4 * 5 * 5 = (5-1) * 5 * 5$ e quindi e' stata pitturata $1$ faccia.

2)
a) Mi viene da rispondere che la risposta e': "il numero di facce nascoste diviso 2". Ovvero $(5*5*5*6 - 5*5*6)/2 = 300$
b) Non sono sicuro di aver capito bene, penso che con una sola operazione di incollatura si possano incollare piu' facce se le facce sono complanari. Ovvero ad es. compongo 2 strati $5*5$ e poi li incollo per fare un blocco $5*5*2$. In questo caso si potrebbero fare prima tutte le file di $5$ cubetti, quindi incollare le file per fare dei quadrati, e alla fine comporre il cubo. In questo caso servirebbero $5*5*4 + 5*4 + 4 = 124$ incollature.

Avevo dimenticato lo spoiler.

[axpgn]

Spoiler, please

1a)
1b) Come ho scritto prima, la risposta non è completa.

2a)
2b) Non sono riuscito a trovare una risposta definitiva, se così posso dire. Ciò che dici è ragionevole, l'ho pensato anch'io però andrebbe dimostrato che è l'optimum.

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

1b) $1$ se il cubo è $5 xx 5 xx 5$,
ma anche $4$ se il cubo è $6 xx 6 xx 6$:
In un cubo $6 xx 6 xx 6$ abbiamo $64$ cubetti interni e $152$ esterni.
Non colorando $2$ facce consecutive avremo $36$ cubetti non colorati sulla superficie, più i $64$ interni. $36+64=100$.

[axpgn]

[axpgn]

Per quanto riguarda il 2b)

Ho provato un altro paio di costruzioni ma giungo sempre a $124$ incollature.
Penso però di aver dimostrato che $124$ sia il limite minimo.
Questo limite si ottiene "dimezzando" sempre (con "arrotondamenti" dato che $125$ non è
una potenza di $2$).
Se io incollo ogni volta due facce, dimezzo il numero di pezzi da incollare; se ne incollo un terzo risparmio un incollatura poi ma ne perdo una prima quindi, in generale, non ho nessun guadagno.
Dato che costruzioni con $124$ sono già stare esibite, concludo che l'optimum è $124$.
Isn't it?

Cordialmente, Alex