Crop circles
Una mattina un agricoltore scopre che nel suo terreno, a forma di quadrato di lato 100 m, coltivato a grano, sono comparsi misteriosi cerchi (crop circles).
Sono presenti due semicerchi di raggio 50 m i cui centri si trovano nel punto medio di due lati opposti del quadrato. Vi sono anche due cerchi tangenti ai due semicerchi ed a un lato del quadrato.
Vi sono inoltre infiniti cerchi tangenti fra loro, ad un semicerchio ed a un lato del quadrato.
Trovare l'area complessiva dei crop circles.
Esprimere il risultato in forma esatta.
Sono presenti due semicerchi di raggio 50 m i cui centri si trovano nel punto medio di due lati opposti del quadrato. Vi sono anche due cerchi tangenti ai due semicerchi ed a un lato del quadrato.
Vi sono inoltre infiniti cerchi tangenti fra loro, ad un semicerchio ed a un lato del quadrato.
Trovare l'area complessiva dei crop circles.
Esprimere il risultato in forma esatta.
Risposte
Mi è venuto questo risultato strano:
A=(16*pi^4-1125)*pi*R^2/360 (circa 9458.5 m^2)
dove "pi" è pigreco, mentre R=50 m. Per trovare la somma della serie che mi è venuta fuori ho dovuto scomodare la funzione zeta di Riemann.
Marcello
Edit: ma c'è poi qualcuno che crede davvero che i crop circles siano frutto di attività aliena? Io proprio per niente. Questo è il sito dei più bravi "circlemakers" inglesi. Sono opere d'arte a tutti gli effetti: minuziosamente progettate e accuratamente realizzate. Altro che "signs" con Mel Gibson
Modificato da - Jeckyll il 28/01/2004 16:33:22
A=(16*pi^4-1125)*pi*R^2/360 (circa 9458.5 m^2)
dove "pi" è pigreco, mentre R=50 m. Per trovare la somma della serie che mi è venuta fuori ho dovuto scomodare la funzione zeta di Riemann.
Marcello
Edit: ma c'è poi qualcuno che crede davvero che i crop circles siano frutto di attività aliena? Io proprio per niente. Questo è il sito dei più bravi "circlemakers" inglesi. Sono opere d'arte a tutti gli effetti: minuziosamente progettate e accuratamente realizzate. Altro che "signs" con Mel Gibson
Modificato da - Jeckyll il 28/01/2004 16:33:22
Bravo Jeckyll, la tua soluzione è corretta.
La mattina dopo l'agricoltore scopre che il suo terreno è stato visitato nuovamente dai "circlemakers" (o dagli alieni?).
Essi hanno formato infiniti nuovi cerchi, tangenti fra loro e ai due semicerchi, i cui centri si trovano lungo la retta tangente ai due semicerchi.
Trovare l'area complessiva dei crop circles.
La mattina dopo l'agricoltore scopre che il suo terreno è stato visitato nuovamente dai "circlemakers" (o dagli alieni?).
Essi hanno formato infiniti nuovi cerchi, tangenti fra loro e ai due semicerchi, i cui centri si trovano lungo la retta tangente ai due semicerchi.
Trovare l'area complessiva dei crop circles.
Dalle mie parti il buon agricoltore non si sarebbe fatto fregare per due sere consecutive. Non importa se alieni o circlemakers: sarebbero stati comunque accolti a colpi di lupara, incaprettati e immersi in una colata di cemento.
Scherzi a parte
ciò che ho ottenuto è che al risultato precedente va aggiunta la seguente area:
Area aggiuntiva=(4*pi^2-39)*pi*R^2/24
Ho utilizzato sempre la funzione zeta di Riemann, ma prima ho dovuto manipolare un po' l'espressione della serie che mi è venuta fuori (ed anche questa, stavolta, è stata un po' più complessa da tirar fuori)
Marcello
Scherzi a parte

Area aggiuntiva=(4*pi^2-39)*pi*R^2/24
Ho utilizzato sempre la funzione zeta di Riemann, ma prima ho dovuto manipolare un po' l'espressione della serie che mi è venuta fuori (ed anche questa, stavolta, è stata un po' più complessa da tirar fuori)
Marcello
Jeckyll, ti rispondo solo ora perchè speravo che qualcuno postasse la soluzione completa.
Infatti le tue risposte sono esatte ma sono curioso di sapere se le hai ottenute in modo rigoroso.
Infatti le tue risposte sono esatte ma sono curioso di sapere se le hai ottenute in modo rigoroso.
citazione:
Jeckyll, ti rispondo solo ora perchè speravo che qualcuno postasse la soluzione completa.
Infatti le tue risposte sono esatte ma sono curioso di sapere se le hai ottenute in modo rigoroso.
Penso di si. Comunque adesso ti dico grossomodo il procedimento che ho seguito.
Come prima cosa ho dovuto determinare il raggio dei cerchi tangenti. Inizialmente ho proceduto determinandoli analiticamente l'uno in funzione dei precedenti. In seguito, dopo aver determinato un certo numero di raggi, ho cercato se c'erano relazioni generali che avrebbero potuto legare i raggi di tali cerchi al loro numero d'ordine (il primo, il secondo, il terzo, etc.) e le ho trovate. A questo punto, dalla somma delle infinite aree dei cerchi, sono venute fuori delle serie un po' particolari di cui non sapevo calcolare la somma. Facendo una breve ricerca ho trovato che la somma delle serie che venivano fuori la si poteva ottenere dalla funzione zeta di Riemann. Non mi sono di certo andato a studiare tale funzione. Mi sono limitato ad apprendere il valore della funzione zeta nel caso che mi interessava (zeta[4]) ed utilizzarlo nel problema in questione.
La seconda parte del problema mi ha dato qualche problemino in più sia per ottenere l'espressione generale dei raggi dei cerchi, che nel calcolare la somma della serie che veniva fuori. In particolare quest'ultima, dopo averla manipolata un po', sono riuscito a scriverla in modo da poter utilizzare sempre la funzione zeta di Riemann (zeta[2]).
Spero di aver risposto alla tua curiosità

Marcello
citazione:
..... In seguito, dopo aver determinato un certo numero di raggi, ho cercato se c'erano relazioni generali che avrebbero potuto legare i raggi di tali cerchi al loro numero d'ordine (il primo, il secondo, il terzo, etc.) e le ho trovate.....
Marcello
La mia curiosità riguardava solo questo passaggio.
Cioè, dopo avere trovato la relazione che lega il raggio di un cerchio al suo numero d'ordine mi chiedevo se avessi dimostrato questa relazione.
Sospettavo che era questo il punto ma non ne ero sicuro.
Comunque non l'ho dimostrata. Mi ero proposto di farlo ma alla fine non l'ho fatto. Mi sono limitato a constatare che funzionava e sono passato avanti.
Per una dimostrazione rigorosa avevo pensato di utilizzare l'induzione. Dimostrare che se la formula trovata valeva per l'ennesima circonferenza allora avrebbe dovuto valere anche per l'(n+1)esima circonferenza. Ma, come ti dicevo, non l'ho fatto.
Magari adesso ci provo.
Marcello
Comunque non l'ho dimostrata. Mi ero proposto di farlo ma alla fine non l'ho fatto. Mi sono limitato a constatare che funzionava e sono passato avanti.
Per una dimostrazione rigorosa avevo pensato di utilizzare l'induzione. Dimostrare che se la formula trovata valeva per l'ennesima circonferenza allora avrebbe dovuto valere anche per l'(n+1)esima circonferenza. Ma, come ti dicevo, non l'ho fatto.
Magari adesso ci provo.
Marcello
Jeckyll, in effetti la relazione che lega il raggio del cerchio e il suo numero d'ordine si può dimostrare facilmente per induzione.
La mia curiosità è così soddisfatta.
La mia curiosità è così soddisfatta.
ok! La dimostrazione per induzione è riuscita. Per ora ho considerato solo il caso delle circonferenze tangenti al semicerchio grande ed al lato del campo di grano. Se indico con r1 il raggio della circonferenza tangente sia alle due semicirconferenze che al lato del campo di grano, e con ri il raggio dell'i-esima circonferenza tangente sia al semicerchio che al lato del campo di grano (più alla precedente circonferenza i-1), la formula
ri=r/(i+1)^2
che ho ottenuto senza dimostrazione si può dimostrare per induzione. Ho assunto che fosse valida per ri ed ho ottenuto per la circonferenza successiva il raggio
ri+1=r/(i+2)^2
Ho cioè dimostrato che se la formula ottenuta valeva per ri allora valeva anche per ri+1. Per induzione, considerato che vale per r1, allora la formula di ri vale per ogni i.
Domani rpovo ad estendere la dimostrazione anche alle circonferenza della seconda visita degli alieni.
Buona Domenica a tutti
Marcello
Edit: mamo, abbiamo postato contemporaneamente
Modificato da - Jeckyll il 07/02/2004 18:56:47
ri=r/(i+1)^2
che ho ottenuto senza dimostrazione si può dimostrare per induzione. Ho assunto che fosse valida per ri ed ho ottenuto per la circonferenza successiva il raggio
ri+1=r/(i+2)^2
Ho cioè dimostrato che se la formula ottenuta valeva per ri allora valeva anche per ri+1. Per induzione, considerato che vale per r1, allora la formula di ri vale per ogni i.
Domani rpovo ad estendere la dimostrazione anche alle circonferenza della seconda visita degli alieni.
Buona Domenica a tutti
Marcello
Edit: mamo, abbiamo postato contemporaneamente

Modificato da - Jeckyll il 07/02/2004 18:56:47