Craps

[axpgn]

Craps è uno dei più popolari giochi d'azzardo americani.

Si gioca con due dadi e conta solo il totale.

Il giocatore lancia i dadi e vince direttamente se escono il $7$ o l'$11$, perde direttamente se escono il $2$ o il $3$ o il $12$, altrimenti il numero che esce è detto "il suo punto."
In tal caso, il giocatore continua a lanciare i dadi finché o esce di nuovo il suo punto e quindi vince oppure esce il $7$ e allora perde.

Quante sono le probabilità di vincita a favore del giocatore?

Cordialmente, Alex

[40rob]

Se ho capito come funziona il gioco dovrebbe venire così...

$(6 + 2 + 2·(3·(3/(3+6)) + 4·(4/(4+6)) + 5·(5/(5+6))))/36$

La formula per com'è scritta fa capire anche come l'ho calcolato

in pratica se si avessero tre esiti equiprobabili $1$, $2$, $3$ e ripetendo il lancio vinci se prima o poi esce $2$ e perdi se prima o poi esce $3$, hai probabilità di vincere $1/2$ e probabilità di perdere $1/2$, però è come se queste due cose comunque non esaurissero tutte le possibilità, c'è un ultimo caso "infinitesimo" $1, 1, 1, 1, 1, ...$ che non entra nel conteggio.

[Drazen77]

Ho lavorato in alcuni casinò e avevo fatto il corso croupier.
Come nella maggior parte dei giochi nei casinò le probabilità di vincita del banco sono di poco superiori a quelle del giocatore. Di poco, ma sempre a favore del banco...
Non ricordo esattamente la probabilità di vincita nei dadi, ma è qualcosa di molto vicino al 49% per il giocatore e al 51% per il banco.

[axpgn]

@bub

"bub":La formula per com'è scritta fa capire anche come l'ho calcolato

Però sarebbe carino se lo riportassi, non tanto per me (ho usato lo stesso metodo, se ho capito bene) ma per coloro che passano di qui e fossero interessati (per inciso, per lo stesso motivo, metti anche le tue considerazioni sotto spoiler, grazie)

"bub":... c'è un ultimo caso "infinitesimo" $ 1, 1, 1, 1, 1, ... $ che non entra nel conteggio.

No, perché ha probabilità nulla.

E se non ti convince questo metodo allora guarda questo ...

Sia $p$ la probabilità di fare il proprio punto e sia $r=1-p-1/6$ la probabilità che la mossa sia inutile.
La probabilità che il giocatore faccia il proprio punto al $(n+1)$-esimo lancio è $r^np$ dove $n=0, 1, 2, ...$
La probabilità totale sarà $p+rp+r^2p+...=p(1+r+r^2+...)$ ovvero $p/(1-r)$

Per esempio, nel caso che il punto sia $4$, avremo $p=3/36, r=1-3/36-6/36=27/36, 1-r=9/36$ da cui la probabilità totale sarà $(3/36)/(9/36)=3/9$ come previsto precedentemente.

Cordialmente, Alex

[40rob]

In realtà non si riesce ad associare una probabilità perché ci vorrebbe un numero non nullo (diverso da $0$) che si trova tra $0$ e i numeri reali maggiori di $0$.
Per come la vedo io s'è scelto per convenzione di assegnare $0$ perché numeri cosí (che si trovano piazzati in questi interstizi) non ce ne sono (s'è scelto il campo reale), ma la possibilità che continui ad uscire sempre lo stesso numero dal punto di vista logico non la si è eliminata. Per questo ho parlato di infinitesimi.
$0$ andrebbe associato ad eventi impossibili per fare le cose bene.
Un altro modo di vederla è pensare che una successione di prove con un numero di esiti equiprobabili deve tendere necessariamente ad una distribuzione equa, in tal caso sarà vero che risulta impossibile che esce sempre lo stesso esito se ce ne sono altri equiprobabili, ma se non si assume a monte questa cosa il fatto che osserviamo che una successione tende a certe distribuzioni è di nuovo solo un qualcosa che è molto frequente ma non necessario.
Nel caso in cui una partita non si chiude mai, si vince o si perde? Non è definito, e non è vero che è un caso impossibile se non si usa un concetto di probabilità legato a quello delle distribuzioni necessarie.

Se tirando una moneta è possibile che venga fuori testa e a ogni lancio successivo, la cosa risulta possibile, non si può escludere a rigore che non verrà fuori sempre testa (con una moneta non truccata) perché non è che la cosa viene bilanciata solo nel nostro mondo (se non si assume che la distribuzione di cui ho parlato è un qualcosa di necessario), ma in mondi alternativi in cui verrà fuori croce.
Nel caso specifico può venire fuori anche sempre testa (sarà da annoverare questa eventualità come super sfiga se si è scommesso su croce ).

Lo so che questa discussione sfocia nel filosofico e non è propriamente matematica, ma è il problema specifico che mi ha stimolato.

Se si segue un idea di probabilità legata alla distribuzione necessaria degli esiti equiprobabili ci troviamo (d'accordo con te la probabilità è uguale a $0$) e una moneta che non distribuisce equamente teste e croci al tendere delle prove all infinito si potrà affermare che è truccata, ma se si segue un idea di probabilità legata al possibile (situazioni alternative e controfattuali che vengono pesate e conteggiate non nel nostro mondo) si può arrivare a conclusioni diverse.

[axpgn]

@bub

"bub":... ma la possibilità che continui ad uscire sempre lo stesso numero dal punto di vista logico non la si è eliminata. ... e non è vero che è un caso impossibile.

Mai detto.
Affermo un'altra cosa: la probabilità di quell'evento è NULLA.

Non sono concetti incompatibili.

E dato che il quesito chiedeva la probabilità di un certo evento, quella che abbiamo trovato è quella giusta anzi pure precisa.

Cordialmente, Alex

[40rob]

"axpgn":@bub

[quote="bub"]... ma la possibilità che continui ad uscire sempre lo stesso numero dal punto di vista logico non la si è eliminata. ... e non è vero che è un caso impossibile.

Mai detto.
Affermo un'altra cosa: la probabilità di quell'evento è NULLA.

Non sono concetti incompatibili.

E dato che il quesito chiedeva la probabilità di un certo evento, quella che abbiamo trovato è quella giusta anzi pure precisa.

[axpgn]

Nulla significa zero.
Qual è la probabilità di estrarre un determinato numero reale dall'intervallo $[0,1]$? Zero
Eppure è un caso "possibilissimo"

La sequenza di lanci nella quale non uscirà mai né il $7$ né il mio punto è infinita per definizione.
Qualsiasi probabilità abbia il lancio "inutile" sarà inferiore a uno e quindi il limite di un prodotto di infiniti termini minori di uno è zero.
E la probabilità che puoi associare a quella sequenza è solo il limite perché altrimenti avresti una sequenza finita contraddicendo l'ipotesi.

IMHO.

Cordialmente, Alex

[40rob]

"axpgn":

Nulla significa zero.
Qual è la probabilità di estrarre un determinato numero reale dall'intervallo $[0,1]$? Zero
Eppure è un caso "possibilissimo"

Per dare senso a cose del genere si passa però al concetto di probabilità come distribuzione o frequenza di un esito.
L'estrazione possibile del numero specifico $0,7$ diviene $0$ anche se può venire fuori, perche si è passati al concetto di probabilità come frequenza. Anche se $0,7$ viene fuori in una successione infinita di prove si assume che la frequenza con cui comparirà tenderà (all'aumentare delle prove) sempre a $0$ (per questo poi gli si assegna probabilità $0$). Può comparire o non comparire in una estrazione numerabile e la sua frequenza al tendere di prove all'infinito tenderà comunque a $0$.
Quando si afferma in casi del genere che la probabilità è $0$ non ci si riferisce più al probabile inteso come conteggio dei mondi e situazioni alternative, ma alla frequenza (limite) verso cui gli esiti devono tendere in una qualsiasi estrazione casuale (alla fine le due cose si appoggiano a vicenda, se degli esiti sono equiprobabili la loro distribuzione tenderà allo stesso limite). Il concetto di estrazione casuale per me varia ed è diverso in casi del genere rispetto ad altri. Hai fatto proprio l'esempio adatto per far capire quello che voglio dire, il concetto di probabilità come frequenza (limite) di un esito è diverso dal concetto di probabilità come conteggio delle alternative possibili in cui si verifica. Se conteggi che sono $0$ le alternative in cui si verifica qualcosa non si può verificare nemmeno nel nostro mondo, se invece conteggi che la frequenza di un certo esito in una successione tende a $0$, questo esito nella successione si può verificare e come.
E' l'unico modo per me per dar senso a cose del genere.

[axpgn]

Non c'ho capito granché ma a me pare semplice dimostrare che la probabilità di "riuscita" di una sequenza infinita di lanci "inutili" sia proprio zero (e non "infinitesima").

Poniamo che sia $p<1$ la massima probabilità di uscita di un numero "inutile" (né $7$ né il mio punto); quindi sarà $p$ la probabilità di un lancio inutile, $p^2$ la probabilità di due lanci inutili di fila, $p^3$ quella di tre lanci inutili, ecc.
Comunque sia, dopo $n$ lanci inutili avremo una probabilità $0 Se anche la sequenza infinita di lanci inutili avesse una probabilità di riuscita $P$ diversa da zero, sarebbe sempre possibile trovare un $n$ tale che $p^n L'unica possibilità affinché la sequenza sia infinita è che sia $P=0$.

IMHO

Cordialmente, Alex

[40rob]

"axpgn":

Non c'ho capito granché ma a me pare semplice dimostrare che la probabilità di "riuscita" di una sequenza infinita di lanci "inutili" sia proprio zero (e non "infinitesima").

Poniamo che sia $p<1$ la massima probabilità di uscita di un numero "inutile" (né $7$ né il mio punto); quindi sarà $p$ la probabilità di un lancio inutile, $p^2$ la probabilità di due lanci inutili di fila, $p^3$ quella di tre lanci inutili, ecc.
Comunque sia, dopo $n$ lanci inutili avremo una probabilità $0 Se anche la sequenza infinita di lanci inutili avesse una probabilità di riuscita $P$ diversa da zero, sarebbe sempre possibile trovare un $n$ tale che $p^n L'unica possibilità affinché la sequenza sia infinita è che sia $P=0$.

IMHO

Cordialmente, Alex

Se i valori li prendi tra i numeri reali è ovvio che raggiungi questo risultato, l'unico numero reale minore tra $0$ e $1$ di tutti i
${(1/p)^1, (1/p)^2,...} = {(1/p)^n| p>0 e n in N}$ è $0$.
Ma se ti trovi in una concezione di probabilità classica (e non frequentista) e $0$ lo assegni solo a quel che non può accadere, sorge un'incongruenza per me, per questo, all'interno di questa concezione qua è scorretto assumere che la probabilità sia $0$ visto che tu stesso hai affermato che la cosa non è impossibile.
Poi se si assume che un infinitesimo si trova strettamente tra $0$ e tutti i ${(1/p)^1, (1/p)^2,...}$

https://it.wikipedia.org/wiki/Analisi_non_standard

il tuo ragionamento cade. Funziona se $P$ lo prendi appunto tra i reali e se non prendi $0$ dovrai prendere qualcosa che è maggiore di qualche $1/p^n$, ma tra i reali mica ci sono gli infinitesimi?

In termini frequentisti comunque quella cosa non può capitare proprio, prima o poi devono verificarsi tutti gli esiti se la loro probabilità non è nulla, e si risolve a monte il problema, tutte le partite devono chiudersi.

Poi se si riformula tutto in termini frequentisti, anche un esito che ha probabilità $0$ può capitare in una serie di esperimenti, basta che al limite la sua frequenza tenda a $0$, con questo si spiega perché mai scegliendo un numero reale tra $0$ e $1$ la sua probabilità è $0$, perché in una sequenza di esperimenti il verificarsi dell'evento avrà frequenza tendente a $0$.

[axpgn]

Sinceramente non ho ancora capito dove sarebbe la fallacia del mio ragionamento o dimostrazione.
Ricordo che il quesito chiedeva quale fosse la probabilità di vincita del giocatore e questa è la stessa anche nel caso che il gioco non finisca, e questo per il semplice fatto che il caso che si abbia una sequenza infinita di lanci inutili ha probabilità nulla cioè zero.
Rifaccio un'altra volta i conti, stavolta con un esempio e peraltro nel modo classico cioè casi favorevoli su casi possibili.
Supponiamo che al primo lancio esca il numero $4$ quindi dal secondo lancio in poi la probabilità $p$ che esca un lancio inutile è $p=1-1/6-1/12=3/4$.
Al terzo lancio avremo $(3/4)^2=(3/4)(3/4)=9/16$, al quarto lancio $(3/4)^3=27/64$, ecc.
Numeri razionali peraltro, non reali ma non cambia granché.
Ora, la sequenza infinita, per definizione, ha lanci infiniti e quindi la probabilità $P$ che avvenga è zero.
Ma non qualcosa di vicino allo zero o infinitesimo (non ho capito cosa c'entri l'analisi non standard in questo caso), è proprio zero.
Da un lato perché $lim_(n->infty) (3/4)^n = 0$, dall'altro perché se fosse diversa da zero (cioè $P>0$) allora, dato che tra due numeri razionali ne esiste sempre un altro, avremmo un indice $m$ tale per cui si avrebbe $(3/4)^m Si può concludere quindi che anche se i lanci inutili fossero infiniti, la probabilità di quest'eventualità non "impatta" sulle altre, essendo per l'appunto nulla.

Il tuo dubbio riguarda invece il fatto che "probabilità zero" significa "evento impossibile"?
Da profano mi rimetto alla teoria: se dice così, sarà così.

Cordialmente, Alex

[40rob]

"axpgn":

Sinceramente non ho ancora capito dove sarebbe la fallacia del mio ragionamento o dimostrazione.

Io non ho detto che la dimostrazione è scorretta, è scorretto pensare di trovare gli infinitesimi tra i reali, è chiaro che bisogna ampliarli per trovare gli infinitesimi. Quando tu dici che la probabilità non è infinitesima ma nulla, è ovvio che sia nulla se in pratica i valori delle probabilità ammissibili li si prende tra i numeri reali compresi tra $0$ e $1$.
L'analisi non standard c'entra col problema, e adesso cerco di spiegare perché.
Se fai una sommatoria infinita di $2/3 + 2/9 + 2/27 + 2/81 + ...$ secondo l'analisi standard questa sommatoria dovrà essere uguale a $1$, la giustificazione intuitiva di questa cosa è che la sommatoria infinita dovrà essere per forza più grande di tutte le sue sommatorie finite ma minore o uguale dei numeri che sono più grandi di tutte le sue sommatorie finite, se poi questi numeri hanno un minimo, abbiamo risolto il problema. Tra $0$ e $1$, l'unico numero reale che si possa scegliere che soddisfa questi requisiti è $1$ (quindi qua ti ho dato fin dall'inizio ragione), è l'unico reale maggiore o uguale a tutte le sommatorie finite, se ne prendiamo uno qualsiasi a piacere minore sarà superato da qualche sommatoria finita della serie.
Se ampliamo invece il campo reale e aggiungiamo gli infinitesimi, questa cosa non è più valida perché esisteranno anche numeri $1 - i$ minori di $1$ (e quindi diversi da $1$) con $i$ infinitesimo che soddisfano...

$(1 - i) > 2/3$ e $(1 - i) > 2/3 + 2/9$ e $(1 - i) > 2/3 + 2/9 + 2/27$ e ...

quindi quella sommatoria non dovrà fare necessariamente $1$ secondo l'idea intuitiva di partenza. Se le si vorrà assegnare un qualche valore coerente con questa nuova impostazione le si potrà far mancare anche qualche infinitesimo $i$ prima di raggiungere l'unità, ossia "la si potrà far fermare anche prima" di raggiungere $1$.
Questa analisi è utile nel caso probabilistico in esame perché riesce a dare una probabilità non nulla ad un evento possibile. L'eventualità che se tiro un dado a tre facce ($1$, $2$, $3$) (con un po' di fantasia lo si può immaginare come un "pallone" a tre facce curve ed "esce" la faccia che poggia sul tavolo non quella superiore ) ripetutamente senza fine la probabilità dell'evento "non esce mai né $2$, né $3$" non sarà nulla $= 0$ ma infinitesima.

Io spesso purtroppo non so spiegarmi bene e si avviano discussioni senza fine, ma il mio discorso è abbastanza semplice.

Non ho studiato approfonditamente la cosa, lo ammetto, però secondo me costruire modelli alternativi usando concetti del genere (e ce ne sono poi diversi se si cerca un po' in rete) per analizzare questi problemi risulta interessante.

E' un discorso filosofico legato alla probabilità ma è anche matematico, divesi matematici hanno criticato l'impostazione secondo cui la probabilità di eventi possibili (con l'analisi relativa a situazioni possibili alle quali viene dato un peso alla possibilità verificarsi e non la probabilità intesa come frequenza limite del verificarsi in una qualsiasi successione di esperimenti, che per me sono due cose abbastanza diverse che hanno solo poi certe analogie e parti comuni) dovesse essere uguale a $0$ solo perché non si hanno a disposizione abbastanza numeri e regole additive opportune per pesare il possibile.

[axpgn]

Non concordo.
Per quel poco che so di analisi non standard, i risultati dei "conti" sono gli stessi dell'analisi standard; cambiano i metodi e la "filosofia" sottostante ma non i risultati.
Per esempio, il limite di quella successione fa $1$ in entrambi casi, non influisce il fatto che in quella non standard, quell'uno sia circondato da un'infinita di iperreali cioè detto in altro modo il limite di quella successione NON è un determinato iperreale $i$ infinitamente vicino a $1$, ma sempre $1$.
E lo stesso accade con la nostra successione infinita di lanci inutili; la sua probabilità di accadere è zero, non un BEN DETERMINATO iperreale infinitesimo (d'altronde quale?)

Ovvero questa affermazione

"bub": Se le si vorrà assegnare un qualche valore coerente con questa nuova impostazione le si potrà far mancare anche qualche infinitesimo $ i $ prima di raggiungere l'unità, ossia "la si potrà far fermare anche prima" di raggiungere $ 1 $.

non ha nessun supporto neppure in analisi non standard.

IMHO

Anche su questa parte

"bub":... dovesse essere uguale a $ 0 $ solo perché non si hanno a disposizione abbastanza numeri e regole additive opportune per pesare il possibile.

non sono d'accordo.
Non è vero che non si hanno "strumenti" a disposizione: limiti, successioni, serie, ecc, sono quegli strumenti che ci permettono di dire che quella probabilità è zero (senza se e senza ma )
Quello che "cozza" non è la Matematica (e la Statistica) ma i suoi risultati con la "nostra percezione" di quello che dovrebbe essere il risultato (o la realtà).
La Matematica usata qui è coerente (secondo me), se non ci piace e vogliamo usare altre regole, mi sta benissimo, però, in questo caso, io non ci vedo un'alternativa coerente e consistente nella tua interpretazione.

Ovviamente sempre IHMO.

Cordialmente, Alex