Cose da poco...

[giuseppe87x]

- Trovare una formula per il calcolo dei primi $n$ cubi.
- Calcolare $sum_(k=0)^nkx^k$

[_nicola de rosa]

"giuseppe87x":- Trovare una formula per il calcolo dei primi $n$ cubi.
- Calcolare $sum_(k=0)^nkx^k$

2)$sum_(k=0)^nkx^k=x*sum_(k=0)^nkx^(k-1)=x*sum_(k=0)^n(dx^k)/dx$ e supponendo di poter scambiare il segno della serie con quello di derivazione ( e lo si può fare per i noti teoremi di analisi) si ha:
$x*d/dx(sum_(k=0)^nx^k)=x*d/dx((1-x^(n+1))/(1-x))=x*(1-x^n-nx^n+nx^(n+1))/(1-x)^2$
1)$sum_(k=0)^nk^3$
Analizziamo i primi sei termini di tale serie la cui somma è $S(n)$. Indichiamo con $d_1=S(n+1)-S(n)$ e con $d_(i+1)=d_i(n+1)-d_i(n)$ $i=1,2,3$ le differenze i-esime tra due termini successivi.Si ha:
$n=1$,$S(n)=1$
$n=2$,$S(n)=9$,$d_1=9-1=8$
$n=3$,$S(n)=36$,$d_1=27$,$d_2=27-8=19$
$n=4$,$S(n)=100$,$d_1=64$,$d_2=37$,$d_3=18$
$n=5$,$S(n)=225$,$d_1=125$,$d_2=61$,$d_3=24$,$d_4=6$
$n=6$,$S(n)=441$,$d_1=216$,$d_2=91$,$d_3=30$,$d_4=6$
e proseguendo avremo che la differenza quarta è costante e sempre pari a $6$. Allora $S(n)$ ha un andamento biquadratico cioè
$S(n)=an^4+bn^3+cn^2+dn+e$ e vanno trovati i coefficienti $(a,b,c,d,e)$. Per trovarli consideriamo le righe scritte sopra per $n=1,2,3,4,5$ ed impostiamo il sistema
${(a+b+c+d+e=1),(16a+8b+4c+2d+e=9),(81a+27b+9c+3d+e=36),(256a+64b+16c+4d+e=100),(625a+125b+25c+5d+e=225):}$
da cui si trova ${(a=1/4),(b=1/2),(c=1/4),(d=0),(e=0):}$
Per cui
$S(n)=1/4n^4+1/2n^3+1/4n^2=1/4n^2(n+1)^2 $

[giuseppe87x]

Ok giusto, quello che avevo pensato io.

[giuseppe87x]

Ecco un altro metodo per risolvere il primo.

$(1+1)^4=1+4+6+4+1$
$(1+2)^4=1+4*2+6*4+4*8+16$
$(1+3)^4=1+4*3+6*9+4*27+81$
$.............................................$
$(1+n)^4=1+4*n+6*n^2+4*n^3+n^4$

Sommando membro a membro si ottiene la formula ricavata da nicasamarciano.