Conti

[axpgn]

1)

Determinare le prime tre cifre dopo il punto decimale nell'espressione decimale del seguente numero:

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (0.123456789101112...495051)/(0.515049...121110987654321)$


No calcolatrici, computer o ammennicoli vari, a mano la dovete fare, a mano
Mi fido di voi



2) Se i numeri che contengono tutte le cifre da $0$ a $9$ venissero messi in ordine crescente, quale sarebbe il milionesimo?
(Esclusi i numeri che iniziano per zero)

Idem come sopra


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

0.228 ?

[axpgn]

[Quinzio]

0.240 ?

[axpgn]

Non ancora

[ingres]

Brutalmente

$0.515049.. approx 0.515 = 0.5*(1+0.03)$

quindi
$1/0.515049.. approx 2*(1-0.03)$

$(0.123456...)/(0.515049..) approx 0.2469..*(1-0.03) = 0.246-0.03*0.246 approx 0.246-0.007 = 0.239$

Però sono sicuro che c'è un metodo migliore

[axpgn]

Carino

Eccone un altro ...

Questo numero è maggiore di $(0.12345)/(0.51505)$ e minore di $(0.12347)/(0.51504)$ quindi $0.239...$

Rimane l'altro ...

[Quinzio]

$0.515049... \approx 0.51505 = k$
$0.2k = 0.10301$
$0.04k = 0.020602$
$0.24k = 0.123612 > 0.12345679$
$0.239k = (0.240-0.001)k = 0.123612 - 0.00051505 = 0.123097 < 0.123456789$

Quindi 0.239 proposto da ingres dovrebbe andare bene.

O no

[axpgn]

[Quinzio]

Ok, pensavo che "carino" fosse ironico.
Rimane l'altro...

[axpgn]

Pensate sempre male
L'avevo scritto che dovevate fare i conti
Peraltro tutte e due interessanti i procedimenti usati

L'altro sembra peggio di quello che è

[Quinzio]

$10^6 = 2×9!+6×8!+6×7!+2×6!+5×5!+1×4!+2×3!+2×2!+0×1!+0 \times 0!$

I coefficienti dei fattoriali sono da interpretare come: se la cifra e' 6 "prendi la settima cifra nel pool di cifre che non sono state ancora usate". Settima e non sesta perche' si inizia da 0.
Quindi $2\times9!$ scegliamo 3. Il pool di cifre sarebbe $1,2,3,4,5,6,7,8,9,0$.
$6\times8!$ scegliamo la settima nel pool $0,1,2,4,5,6,7,8,9$, quindi scegliamo $7$
$6×7!$ scegliamo la settima nel pool $0,1,2,4,5,6,8,9$ quindi scegliamo $8$
$2×6!$ scegliamo la terza nel pool $0,1,2,4,5,6,9$ quindi scegliamo $2$
$5×5!$ scegliamo la sesta nel pool $0,1,4,5,6,9$ quindi scegliamo $9$
$1×4!$ scegliamo la seconda nel pool $0,1,4,5,6$ quindi scegliamo $1$
$2×3!$ scegliamo la terza nel pool $0,4,5,6$ quindi scegliamo $5$
$2×2!$ scegliamo la terza nel pool $0,4,6$ quindi scegliamo $6$
$0×1!$ scegliamo la prima nel pool $0,4$ quindi scegliamo $0$
$0 × 0!$ scegliamo la prima nel pool $4$ quindi scegliamo $4$

$3782915604$

[axpgn]

No.

Ma mi piacerebbe capire meglio il tuo procedimento, interessante


EDIT: Forse ho capito (o forse no ), mi pare che sostanzialmente hai fatto come me solo che la tua stesura della soluzione è decisamente diversa dalla mia

Però il numero non è quello

[Quinzio]

Soluzione corretta:

"Quinzio":

$10^6-1 = 2×9!+6×8!+6×7!+2×6!+5×5!+1×4!+2×3!+1×2!+1×1!+0 \times 0!$

Bisogna sottrarre $1$ da $10^6$ siccome il primo numero da contare e' $0$ (zero), il secondo e' $1$, il terzo $2$, il milionesimo e' $999999999 = 10^6-1$

I coefficienti dei fattoriali sono da interpretare come: se la cifra e' 6 "prendi la settima cifra nel pool di cifre che non sono state ancora usate". Settima e non sesta perche' si inizia da 0.
Quindi $2\times9!$ scegliamo 3. Il pool di cifre sarebbe $1,2,3,4,5,6,7,8,9,0$.
$6\times8!$ scegliamo la settima nel pool $0,1,2,4,5,6,7,8,9$, quindi scegliamo $7$
$6×7!$ scegliamo la settima nel pool $0,1,2,4,5,6,8,9$ quindi scegliamo $8$
$2×6!$ scegliamo la terza nel pool $0,1,2,4,5,6,9$ quindi scegliamo $2$
$5×5!$ scegliamo la sesta nel pool $0,1,4,5,6,9$ quindi scegliamo $9$
$1×4!$ scegliamo la seconda nel pool $0,1,4,5,6$ quindi scegliamo $1$
$2×3!$ scegliamo la terza nel pool $0,4,5,6$ quindi scegliamo $5$
$2×2!$ scegliamo la seconda nel pool $0,4,6$ quindi scegliamo $4$
$1×1!$ scegliamo la seconda nel pool $0,6$ quindi scegliamo $6$
$0 × 0!$ scegliamo la prima nel pool $0$ quindi scegliamo $0$

$3782915460$

[Quinzio]

"axpgn":No.

Ma mi piacerebbe capire meglio il tuo procedimento, interessante


EDIT: Forse ho capito (o forse no ), mi pare che sostanzialmente hai fatto come me solo che la tua stesura della soluzione è decisamente diversa dalla mia

Però il numero non è quello

Direi che non ci sono molti modi di risolvere questo esercizio. O meglio tutti si riconducono alla stessa teoria di base.

Ogni intero positivo si puo' espandere in modo unico come
$\sum_k a_k k!$,
$a_k \le k$

Es:
$16 = 2 \times 3! + 2 \times 2!$
In questo caso gli $a_k$ sono $a_k = {a_0, a_1, ...} = {0,0,2,2,0,0,0,...}$
Quindi se riprendo il procedimento che ho spiegato nella soluzione, e voglio espandere il diciassettesimo intero ottengo
$1023458967$

[axpgn]