Con 6 bastoncini ...

[axpgn]

Avendo a disposizione sei bastoncini differentemente colorati ma tutti di uguale lunghezza e dorati ad una estremità, quanti tetraedri diversi posso costruire?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

3840 distinguibili

Ciao

[al_berto]

Buonasera,

Possono essere $720 xx 12= 8640$ ?

Ciao.
aldo

[axpgn]

@al_berto

No.


@orsoulx


Molto bene.

Posteresti il ragionamento che hai fatto? Grazie.

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

"axpgn":Posteresti il ragionamento che hai fatto? Grazie.

Certo:

Ho pensato prima agli spigoli orientati dalle estremità dorate, assimilabili a vettori; numerando i vertici a seconda di quanti vettori ne escono, ci sono quattro possibilità: 3, 2, 1, 0; 2, 2, 1, 1; 3, 1, 1,1; 0, 2, 2, 2.
Nel primo caso abbiamo 2 tetraedri distinguibili. Guardando, ad esempio, dal vertice 3 verso il piano (0,1,2) possiamo vedere questi vertici, in odine crescente, individuare una rotazione con verso orario o antiorario. In ciascun tetraedro possiamo colorare gli spigoli in 6!=720 maniere diverse, quindi 1440 colorazioni.
Il secondo caso si rivela analogo, perchè la coppia di 2 è collegata da uno spigolo che col suo orientamento permette di distinguere 2a da 2b e lo stesso per 1a e 1b. Ancora 1440 colorazioni.
Negli ultimi due casi, anche loro analoghi, i vettori non consentono di individuare univocamente i vertici. Ad esempio nel terzo caso guardando dal vertice 3 possiamo solo distingure se i vettori danno una rotazione oraria o antioraria (2 casi). Possiamo allora colorare gli spigoli che escono dal vertice 3 in \( \binom{6}{3} = 20 \) maniere diverse. Ancora una volta, numerando i colori possiamo, però distinguere 2 rotazioni opposte; a questo punto i restanti spigoli possono essere colorati in 3!=6 modi distinti, per un totale di \( 2\cdot 20 \cdot2 \cdot6=480 \) colorazioni.
3840 è la somma dei risultati parziali trovati. Questo numero è esattamente un dodicesimo delle
\( 6! \cdot 2^6=46080 \) colorazioni pensabili, perciò credo esista un percorso più veloce per trovarlo.

Ciao

[axpgn]

Wow! Che mal di testa ... più o meno sono riuscito ad arrivare in fondo però l'ultima frase me la devi spiegare ... o meglio, qual è il presupposto per cui supponi ciò ...


La mia soluzione è questa ...

Immaginiamo il tetraedro appoggiato su uno spigolo invece che su una faccia (come consuetudine) e proviamo a costruirlo da lì ... prendo un bastoncino qualsiasi come base, da questo si dipartono quattro bastoncini in quattro direzioni diverse; questi quattro bastoncini possono essere scelti tra i cinque rimasti in $5$ modi diversi.
Ciascun gruppo di questi quattro bastoncini può essere disposto in $24$ modi diversi (quattro posizioni diverse per il primo che metto, tre per il secondo, due per il terzo e il quarto si becca quello che rimane libero); inoltre ogni bastoncino dei quattro può essere posizionato in due modi diversi (con la "punta" attaccata alla base o libera in alto) quindi abbiamo $16$ possibilità per ciascuna delle ventiquattro disposizioni.
Infine non ci rimane che piazzare il sesto bastoncino che "chiude" il tutto in cima: ho $2$ possibilità con la punta "verso me" o nel verso opposto.
In totale abbiamo $5*24*16*2=3840$ tetraedri diversi.

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

"axpgn":però l'ultima frase me la devi spiegare ... o meglio, qual è il presupposto per cui supponi ciò ...

Bella soluzione!!
Il presupposto di cui chiedi spiegazioni è la constatazione che in matematica le coincidenze hanno, quasi sempre, una spiegazione logica, che magari non si riesce a vedere.
La tua soluzione e quella, conseguente e ancor più semplice, che scrivo sotto, ne sono una ripova.

1) appoggiando uno spigolo, grazie al suo orientamento, le posizioni dei restanti 5 sono individuate. Abbiamo, perciò, 5!=120 modi diversi per disporre i restanti 5 e 2^5 = 32 maniere per orientarli. il prodotto di 120 e 32 è 3840.

Ciao

[axpgn]

E' vero: cercare legami e collegamenti è quello che, più o meno consapevolmente, facciamo tutti ...
E quella mi pare proprio la versione "definitiva"

Cordialmente, Alex