Coltelli bianchi e neri.

[3m0o]

Celeste ha deciso di regalare a Beatrice un set di posate. All'interno vi si trovano \(y\) coltelli bianchi e \(x \) coltelli neri.
Sapendo che c'è un numero pari di coltelli bianchi e che la seguente equazione è soddisfatta
\[ y^2 - x^3 = 1 \]
sei in grado di determinare quanti coltelli bianchi e quanti coltelli neri ci sono? Se sì, quanti sono?
È necessario avere l'informazione sulla parità dei coltelli bianchi? (a questa domanda so la risposta ma non riesco a dimostrarlo).

[axpgn]

Beh, se non è necessario che i coltelli bianchi siano in numero pari allora $3$ bianchi e $2$ neri è una soluzione.

Tra l'altro ho una vaga rimembranza che sia pure l'unica ... vaga però

Cordialmente, Alex

[3m0o]

Sono due domande
1) Ipotesi \(x \) pari e l'equazione soddisfatta
2) È necessaria l'informazione su \(x\)?
Non ho detto che non è necessario, era una domanda e può avere risposta si oppure no

[axpgn]

@3m0o

Ma necessaria per fare che?
Non è necessaria affinché quell'equazione abbia soluzione (infatti $y=3$ e $x=2$) ma non credo che tu intenda questo ...
Mentre per la prima domanda, come ho detto, mi pare di aver letto qualcosa in merito ma non mi ricordo più se la conclusione fosse che non cerano soluzioni o che ce ne fossero di enormi
Ovviamente nel primo caso sarebbe necessario dimostrarlo, nel secondo trovarla

Edit: ma la condizione di parità è sui coltelli bianchi o su quelli neri? Perché ti contraddici ...

Cordialmente, Alex

[Super Squirrel]

"3m0o":1) Ipotesi x pari...

Non erano i coltelli bianchi, e quindi $y$, ad essere in numero pari?

[hydro1]

Il caso $y$ pari è facile perchè $y+1$ e $y-1$ sono coprimi quindi $(y-1)(y+1)=x^3$ implica che $y-1$ e $y+1$ sono entrambi cubi, quindi sottraendo si finisce a risolvere $u^3-v^3=2$ e cercare tutte le soluzioni è solo noioso, ma facile.

In generale si possono cercare tutte le soluzioni intere con questo trucco: $x^3+1=(x+1)(x+\zeta_3)(x+\zeta_3^2)$, dove $\zeta_3$ è una radice cubica primitiva di 1. E' facile vedere che $x+1,x+\zeta_3$ e $x+\zeta_3^2$ sono coprimi a coppie in \(\mathbb Z[\zeta_3]\) che è un UFD; questo implica che $x+\zeta_3^i=\pm a_i^2$, dove $i=0,1,2$ e \(a_i\in \mathbb Z[\zeta_3]\), perchè $-1$ è l'unica unità in \(\mathbb Z[\zeta_3]\) a meno di cubi. Adesso si risolve come prima solo con un po' più di casi e tempo; ci dev'essere un numero pari di segni meno tra i $\pm a_i^2$. Ad esempio se i primi due hanno segno $+$ allora $1-\zeta_3=a^2-b^2$, siamo in un UFD quindi ci sono finite soluzioni e sono facili da trovare.

Per chi fosse interessato, la curva ellittica $y^2=x^3+1$ ha rango 0 e torsione \(\mathbb Z/6\mathbb Z\), ergo ci saranno 5 soluzioni intere (di più, queste sono anche tutte le soluzioni razionali) dell'equazione che ci interessa.

[3m0o]

Scusate sto facendo confusione su cosa intendevo , perché credo di starmi perdendo in un bicchiere d'acqua... mi metto le idee in chiaro su cosa volevo chiedere (erano le 00:14, abbiate un po' di clemenza).

Ad ogni modo la soluzione è quella di Hydro (che mi ha mostrato anche come dimostrare la parte che non riuscivo).

[Super Squirrel]

$y^2-x^3=1=>x^3=(y-1)(y+1)$

da cui si ricava che $x$ e $y$ devono essere obbligatoriamente uno pari e l'altro dispari.

Se $y$ è pari $(y-1)$ e $(y+1)$ saranno due numeri dispari consecutivi e come tali non avranno nessun divisore in comune escluso l'$1$. Ponendo $x=n_1n_2$ con $n_1,n_2\inN^+$, *(coprimi) e $n_2>=n_1$ dovrà essere $n_1^3=y-1$ e $n_2^3=y+1$, da cui si ricava la condizione $n_2^3-n_1^3=2$, la quale non può mai verificarsi. Ciò implica che $y$ non può essere pari e quindi eventuali soluzioni presenteranno $y$ dispari e $x$ pari (il che rende quindi superflua l'informazione iniziale sulla parità di uno dei due numeri).

Mi scuso con @hydro se la mia soluzione è simile alla sua (di cui peraltro ho capito poco non avendo le conoscenze necessarie ), ma avendoci ragionato un bel po' volevo comunque riportarla.

EDIT: *