Cinque triangoli equivalenti

[Piera4]

Un pentagono convesso ABCDE ha la proprietà che le aree dei 5 triangoli ABC, BCD, CDE, DEA, EAB sono tutte pari a 1. Determinare, se i dati sono sufficienti, l’area del pentagono.

[Sk_Anonymous]

A causa dell'equivalenza dei triangoli ABC ed ABE la diagonale EC e' parallela
al lato opposto AB (come del resto ,per un egual motivo, lo sono anche le altre
diagonali rispetto al lato opposto).Calcoliamo ora l'area Sp del pentagono nei
seguenti modi:
$S_p=S(EDC)+S(ABCE)=1+((AB+EC).HH')/2=1+1/2(AB+EC).(2S(ABE))/(AB)=2+(EC)/(AB)$
$S_p=S(AED)+S(BDC)+S(ADB)=2+1/2.AB.(DH'+H'H)=2+1/2AB.[(2S(EDC))/(EC)+(2S(ABE))/(AB)]=3+(AB)/(EC)$
Posto $(EC)/(AB)=t$ si ha l'equazione $2+t=3+1/t ->t^2-t-1=0$ da cui si trae:
$t=(1+sqrt5)/2$
Pertanto risulta:
$A_p=2+(1+sqrt5)/2=(5+sqrt5)/2$
Archimede

[mircoFN1]

"Piera":se i dati sono sufficienti ....

l’area del pentagono è $(5+\sqrt5)/2$

bruciato sul filo di lana.....

tuttavia il mio calcolo era più facile: ho supposto (come suggerisce il testo del problema) che i dati fossero sufficienti e ho usato un semplice pentagono regolare...


ciao

[Piera4]

con "se i dati sono sufficienti" intendevo dire di calcolare, se possibile, l'area del pentagono, non di supporre i dati sufficienti.

[mircoFN1]

"Piera":con "se i dati sono sufficienti" intendevo dire di calcolare, se possibile, l'area del pentagono, non di supporre i dati sufficienti.

Si certo, lo immaginavo...

però allora un logico ti avrebbe detto di formulare la domanda così:

verificare che i dati sono sufficienti e calcolare l'area.

Nell'ipotesi che i dati siano sufficienti è chiaro che l'area deve essere la stessa per ogni pentagono convesso e quindi ...

Comunque ovviamente la soluzione di Archimede è completa e risponde a entrambe le domande!

ciao

[mircoFN1]

Approposito, mi chiedo (non so la risposta):

esistono pertagoni non regolari che hanno questa proprietà?
Tracciarne qualcuno...