Cesenatico 2012 2

[Omar931]

Altro facile

Determinare tutti gli interi positivi che sono uguali a 300 volte la somma delle loro cifre.

[marco99991]

2700

[vittorino70]

Il risultato di marco9999 è esatto ma forse a qualcuno piacerà vederne i motivi.. Comincio con l'osservare che la somma delle dieci cifre ( da 0 a 9) è 45 e che 45 *300=13500. Pertanto il massimo numero che soddisfa il quesito può avere al più 5 cifre ( di cui quella delle decine di migliaia deve essere=1) e al minimo 3 cifre,con le ultime due cifre uguali a zero in ogni caso. Nel primo caso di 5 cifre, posso porre :
\(\displaystyle 10^4+10^3\cdot a+10^2\cdot b =300( 1+a+b)\)
da cui ho :
\(\displaystyle 10^2+10\cdot a+b =3( 1+a+b)\) , ovvero \(\displaystyle 97+7a=2b\) e questa eguaglianza non ha soluzioni intere nell'intervallo 0..9. Pertanto non esistono soluzioni a 5 cifre.
Passiamo a quelle a 4 cifre. Deve aversi :
\(\displaystyle 10^3\cdot a+10^2\cdot b=300(a+b) \)
da cui la relazione:
\(\displaystyle a=\frac{2}{7}b \)
Data la natura delle cifre a e b, non può che essere \(\displaystyle b=7, a=2 \) e da qui il numero \(\displaystyle 2700 \) come già indicato da marco9999.
Infine proviamo con 3 cifre. Si ha:
\(\displaystyle 10^2\cdot a=300(a) \)
che dà la soluzione a=0. Il numero corrispondente è \(\displaystyle 0 \) , non accettabile per ipotesi.[spoiler]

[/spoiler]

[marco99991]

Ok, vittorino70. E' più o meno come l'avevo risolto io. Una cosa sola. Cosa intendi dire con
"Comincio con l'osservare che la somma delle dieci cifre ( da 0 a 9) è 45 e che 45 *300=13500" ? Stai supponendo che il numero sia formato da cifre diverse?

[vittorino70]

Ho solo preso il limite superiore massimo. In realtà, dato che le ultime due cifre sono =0, il limite forse è ancora più basso ma il ragionamento non cambia.

[marco99991]

Sì, ma io non ho capito perchè hai scritto che la somma dei numeri da 0 a 9 è 45. Non ne capisco il nesso col problema. L'upperbound è chiaramente 13500 e sono d'accordo con te su questo. Però io l'ho trovato così:

1) Il numero non può avere 6 cifre perché come minimo sarebbe uguale a 100000 e al massimo avrebbe 54 come somma delle cifre. 100000 è ben superiore a $300*54$. Quindi qualunque numero di 6 cifre è maggiore di 300 volte la somma delle sue cifre.
2) Il numero potrebbe avere 5 cifre, in tal caso la somma delle sue cifre può essere al più 45. Quindi il numero non può superare 13500, altrimenti sarebbe superiore a 300 volte la somma delle sue cifre.

Il punto è che il 45 che ho scritto io è stato trovato facendo $5*9$, cioè la somma delle cifre del numero 99999, tu l'hai trovato facendo la somma dei numeri da 0 a 9, ciò mi fa pensare che il numero possa avere anche 10 cifre, ma necessariamente tutte diverse tra loro.

Non so se sono stato chiaro...

[vittorino70]

Il numero delle cifre non è noto a priori e mi è sembrato ragionevole considerarle tutte in prima istanza.

[marco99991]

Giustissimo, non essendo noto il numero di cifre. Quello che intendevo io era un'altra cosa, ma forse non mi sono spiegato bene. Se dici che va osservato che la somma dei numeri da 0 a 9 è 45, la prima cosa che penso è che tu stia considerando numeri con al più 10 cifre tutte diverse tra loro. Ma non capisco cosa ha a che fare col problema. Io farei così:
un numero di $n$ cifre ha al massimo $9*n$ come somma delle sue cifre. Se fai $9*n*300$ trovi $2700*n$. La domanda è:
per quali $n$ si ha che $2700*n$ ha esattamente $n$ cifre? Risposta: $n=5$.
Analogamente, un numero di $n$ cifre ha minimo $1$ come somma delle sue cifre. Se fai $1*300$ trovi $300$. La domanda è: per quali $n$ si ha che $300$ ha esattamente $n$ cifre? Risposta: $n=3$.
Può sembrare astruso, ma questo è un modo per arrivare a capire che la soluzione da trovare è un numero di 3, 4 oppure 5 cifre.
Dopodichè facilmente ho trovato il valore 2700. Ma la domanda resta: non riesco a comprendere per quale motivo tu dici che la somma delle cifre di un numero di cui non è noto da quante cifre sia formato debba essere al massimo 45. Perchè 45, quando potrei prendere 999999 come esempio, che ha 54 come somma delle cifre?