Cerchi tangenti

[axpgn]

Tre cerchi aventi lo stesso raggio hanno i loro centri allineati con il cerchio di mezzo tangente agli altri due.
Dall'intersezione dell'asse su cui giacciono i centri con il cerchio a sinistra (e con il punto di contatto sinistro) si tracci la tangente al cerchio più a destra.
Quant'è lunga la corda $AB$ determinata da questa tangente sul cerchio di mezzo?

Cordialmente, Alex

[dan952]

Chiamiamo $O'$ il centro dell'ultima circonferenza più a destra e $r$ il raggio delle circonferenze.

$ODO'$ è un triangolo rettangolo in $D$, vale che

$\frac{DO'}{OO'}=\sin(DOO')=\frac{r}{5r}=1/5$

Sia $O''$ il centro della circonferenza centrale, per il teorema dei seni abbiamo che

$\frac{r}{\sin(DOO')}=\frac{3r}{\sin(OBO'')}$

da cui

$\sin(OBO'')=\frac{3}{5}$

Per il teorema della corda e sfruttando il fatto che $AO"B$ è isoscele si ha

$AB=2r\sin((180°-2ABO'')/2)=2r\sin(90°-ABO'')=2r\cos(ABO'')=\frac{8}{5}r$

[axpgn]

Bravo!

E senza usare la trigonometria (o quasi)?


Cordialmente, Alex

[Bokonon]

$5r:3r=r:x rArr x=3/5r$
$2sqrt(r^2-(3/5r)^2)=8/5r$

[axpgn]

Bella! Veramente molto carina

Però perché mi devo sforzare per capire le risposte?


Cordialmente, Alex

[Bokonon]

@Alex
Scusami... l'ho scritta mentre ero in sala di attesa.
...e francamente ero convinto che lo avessi risolto così pure tu! Adesso sono curioso di leggere la tua soluzione

[dan952]

Bella la soluzione di Bokonon non ci avevo pensato! Mi sono reso conto di aver sparato ad una mosca con il fucile.

[axpgn]

Beh, io ho fatto molto peggio!

Ho trovato le equazioni del cerchio ($(x-3r)^2+y^2=r^2$) e della tangente ($y=sqrt(6)/12x$), le ho messe a sistema, trovato i punti comuni $A$ e $B$ ($x=72/25r+-8/25rsqrt(6)$) e calcolato la distanza

A dir la verità non è così "contosa" come potrebbe apparire però, chiaramente, in confronto a quella di Bokonon ...

Cordialmente, Alex