Cerchi inscritti

[axpgn]

Dato un triangolo equilatero di lato unitario, lo si divida in tre triangoli isosceli congruenti, unendo il centro del triangolo equilatero con i suoi vertici.
Nei tre triangoli isosceli si inscrivano tre cerchi.

Quanto vale il raggio?

E se al posto del triangolo equilatero ci fosse un pentagono regolare, quanto vale il raggio?

Cordialmente, Alex

[Brancaleone1]

Provo:

Per il triangolo di lato unitario: il raggio mi viene $(sqrt(3)-1)/(2(1+sqrt(3)))$

[axpgn]

Yes!

Come l'hai trovato? E il pentagono?


Cordialmente, Alex

[Brancaleone1]

Triangolo: una volta diviso il triangolo equilatero, dato che i tre triangoli isosceli sono congruenti, focalizziamoci per semplicità sul triangolo rettangolo ADF. L'angolo in D vale

$A\hat DF = (2pi)/6 = pi/3$

perché è un angolo giro diviso equamente in sei parti. Dato che l'angolo in F è retto, l'angolo in A deve valere

$F\hat AD = pi - pi/2 - pi/3= pi/6$

Il segmento AH taglia in due l'angolo in A, che vale

$F\hat AH = (F\hat AD) / 2 = pi/12$

Dato che $AB = 1$, allora $AF=1/2$, ed AH, l'ipotenusa del triangolo FAH, si trova risolvendo:

$AH cos(F\hat AH) = 1/2$

$=>AH = 1/2 \cdot 1/cos(pi/12)=(sqrt2)/(1+sqrt3)$

A questo punto si trova il raggio calcolando

$AH sin(F\hat AH)=(sqrt2)/(1+sqrt3) \cdot sin(pi/12)=(sqrt(3)-1)/(2(1+sqrt(3)))$

[Super Squirrel]

Se non ho sbagliato qualche calcolo, per un generico poligono regolare di $n$ lati di lunghezza $l$, dovrebbe essere:

$ r=(l(1-sen(pi/n)))/(2cos(pi/n))$

[axpgn]

Ok,

In generale ...

Riferendomi al disegno di Brancaleone, chiamo $alpha$ l'angolo $F\hatAH$ che è pari a $alpha=(n-2)/(4n)pi$ dove $n$ è il numero di lati del poligono.

Ora si ha che $tan(alpha)=(2r)/l$ da cui $r=l/2tan(alpha)$

Nel caso del triangolo equilatero di lato unitario si può anche fare a mente dato che $alpha=15°$ per cui $tan((30°)/2)=(1-cos(30°))/sin(30°)=2r$

Cordialmente, Alex

[Super Squirrel]

Considerate le formule generali trovate da me e @axpgn mi ero ripromesso di dimostrarne l'uguaglianza, più che altro per giocare un po' con la trigonometria che non toccavo da parecchio!

$tan(pi(n-2)/(4n))=(1-sen(pi/n))/cos(pi/n)=>tan^2(pi(n-2)/(4n))=((1-sen(pi/n))/cos(pi/n))^2$

Sviluppando il primo membro:

$tan^2(pi(n-2)/(4n))=tan^2(1/2(pi/2-pi/n))=(1-cos(pi/2-pi/n))/(1+cos(pi/2-pi/n))=(1-sen(pi/n))/(1+sen(pi/n))=((1-sen(pi/n))^2)/((1+sen(pi/n))(1-sen(pi/n)))=((1-sen(pi/n))^2)/(1-sen^2(pi/n))=(1-sen(pi/n))^2/cos^2(pi/n)$

[axpgn]

Bravo!