Cercasi funzione

[ghira1]

$f$ è una funzione che manda interi positivi ad interi positivi.

Sappiamo che:

$f(f(x))=3x$
$f(x+1)>f(x)$

$f(13)=$?

[Quinzio]

$f(13) = 26$ ?

[ghira1]

Non mi pare.

[Studente Anonimo]

Scherzoooo noo

f(13)=13?

[Folpo13]

Sappiamo che $f(f(1))=3$

Da cui: $f(1)!=1$ sennò sarebbe $f(f(1))=1$ e sapendo che $f(3)>f(2)>f(1)$ abbiamo che $f(1)!=3$ sennò $f(f(1))=f(3)=f(1)=3$ che è impossibile. Da qui si può ricavare anche che $f(1)<3$ e diverso da $1$, quindi non può essere altro se non $f(1)=2$.

Si può ricavare inoltre che $f(f(1))=f(2)=3$ e $f(f(2))=f(3)=6$ e inoltre $f(f(3))=f(6)=9$ da cui deriva per forza che $f(4)=7$ e $f(5)=8$ per mantenere la proprietà $f(x+1)>f(x)$

Andando avanti in questo modo $f(f(6))=f(9)=18$ e $f(f(9))=f(18)=27$

Ora si può notare che $f(9)=18$ e $f(18)=27$ da cui necessariamente:

$f(10)=19$
$f(11)=20$
$f(12)=21$
$f(13)=22$
$f(14)=23$
$f(15)=24$
$f(16)=25$
$f(17)=26$

Quindi ovviamente $f(13)=22$. Probabilmente andando avanti così si può anche generalizzare $f(x)$ per ogni $x\inNN$

[ghira1]

"Folpo13":(roba)

Giusto.

[Studente Anonimo]

\( f(13)=39\)

[Studente Anonimo]

Non esiste questa funzione

Abbiamo che per ogni \(x \) intero positivo risulta che \( f(f(x)) = 3x \) da cui abbiamo che se \( f(3x)=f(f(f(x))) = 3f(f(x)) = 9x \). Abbiamo quindi che \( f(f(4))=12 \) e \( f(12) = 36 \) e \( f(f(5)) = 15 \) da cui \( f(15) = 45 \) pertanto usando il fatto che \( f(x+1) > f(x) \) abbiamo che \( 45 > f(13) > 36 \) da cui risulta che \( f(13) \in \{ 37,38,39,40,41,42,43,44\} \). Ora sia \( y \in \mathbb{N} \) tale che \( f(13)=y \) abbiamo che \( f(f(13))=f(y) = 3\cdot 13 = 39 \). Ma abbiamo che \( f(f(y))=3y \) ma anche \(3y= f(f(y))=f(f(f(13))) = 3f(f(13)) = 3f(y) = 9 \cdot 13 \).
Abbiamo dunque che \(3y=117 \) Da cui risulta che \( y = 39 \).
Quindi abbiamo che \( f(13)= 39 = f(39) \). Ma chiaramente la funzione dev'essere iniettiva, poiché se \( f(x) = f(y) \) allora risulta che \( f(f(x))=3x=3y=f(f(y)) \) da cui risulta che \(x=y\).

[Folpo13]

"3m0o":Non esiste questa funzione

Abbiamo che per ogni \(x \) intero positivo risulta che \( f(f(x)) = 3x \) da cui abbiamo che se \( f(3x)=f(f(f(x))) = 3f(f(x)) = 9x \).

Non dovrebbe essere:

$f(3x)=f(f(f(x)))=3f(x)$

?

[Studente Anonimo]

Folpo13

Sì me ne sono reso conto dopo perché mi sembrava strano, hai ragione.

Comunque sia mi sa che non è così semplice.

Sia \( 3 \mathbb{N} \) e sia \( A:= \mathbb{N} \setminus 3 \mathbb{N} \) consideriamo una partizione qualunque di \(A\) in due insiemi \(B,C\) con l'unica condizione che entrambi gli insiemi siano infiniti (numerabili). Chiaramente abbiamo una biezione \(g : B \to C \). Definiamo ora la funzione \(f(0)=0 \), \( f(3x)=3f(x) \), \( f(x)=g(x) \) se \( x \in B \) e \( f(x)=3 g^{-1}(x) \) se \(x \in C \). È una funzione ben definita su tutto \( \mathbb{N} \).
Chiaramente abbiamo che \(f(f(x))=3x \) per ogni \(x \in \mathbb{N} \).
Se \(x \in B \) abbiamo che \[ f(f(x))= f(g(x)) = 3 g^{-1}(g(x)) = 3x \]
Se \( x \in C \) abbiamo che
\[ f(f(x)) = f(3g^{-1}(x)) = 3f(g^{-1}(x)) = 3 g(g^{-1}(x)) = 3 x \]
Dunque se \( x= 3n \) con \( n \in B,C \) abbiamo che
\[ f(f(x))= f(3f(n))=3f(f(n))= 3 \cdot 3 n = 3x \]
Questo ci permette di dimostrare
\[ f(f(x))= 3x \]
per ogni multiplo di \(3\). Quindi il valore di \(f(13) \) dipende dalla partizione che scegli e dalla tua biezione \(g\).

Il punto è che non credo sia possibile far sì che \( f(x+1)>f(x) \) definisca un unica partizione e un unica biiezione. Senza imporre la condizione che \(f\) è crescente allora \(f(13) \) può prendere un infinità di valori poiché dipende strettamente dalla partizione e dalla biezione che scegli. Secondo me anche imponendo la condizione \( f(x+1) > f(x) \).

[ghira1]

Versione avanzata: e, diciamo, $f(2021)$?

https://math.stackexchange.com/questions/1410635/if-f-bbbn-to-bbbn-is-strictly-increasing-and-ffn-3n-find-f200

https://web.archive.org/web/20190424010 ... nswer.aspx