Cento cifre

[axpgn]

$100$ cifre sono scelte in modo casuale e vengono tutte utilizzate per la formazione di due numeri interi $a$ e $b$.
Ovvero ognuna delle cento cifre viene utilizzata esattamente una volta sola o in $a$ o in $b$.

Qual è la probabilità che esista almeno una coppia di numeri $(a, b)$ così formata e tale che sia $a^2=b$?
I due numeri non possono iniziare con la cifra zero.



Cordialmente, Alex

[ghira1]

A prima vista sembra un casino. Ma se è un gioco matematico e non un problema orribile, la risposta deve essere qualcosa di semplice tipo 0 o 1.

Non è 1 perché se escono 99 o 100 zeri non possiamo nemmeno formare due numeri.

Quindi a questo punto sospetto che debba essere 0. Anche perché $a$ deve avere 33 cifre e $b$ o 65 o 66. Non può avere 67 cifre. $a$ non può avere 34 cifre perché $b$ sarebbe troppo lungo.

[axpgn]

Molto bene!

Dato un numero di $n$ cifre il suo quadrato può avere $2n$ o $2n-1$ cifre quindi in totale i due numeri avranno $3n$ o $3n-1$ cifre.
Ma $100$ è della forma $3n+1$ cifre.
Quindi la probabilità è zero.

Cordialmente, Alex