Carte

[axpgn]

Tre persone (Aldo, Bruno e Carlo) fanno questo gioco: un numero intero è scritto su ciascuna di tre carte.
Questi tre numeri $p, q, r$ soddisfano $0 Le tre carte sono mescolate e poi distribuite ai giocatori una per ciascuno.
Dopodiché ognuno riceve tanti gettoni corrispondenti al numero sulla carta ricevuta.
Infine le carte vengono ritirate e mescolate di nuovo ma i gettoni restano ai giocatori.
Questa procedura (mescolamento carte, distribuzione carte e distribuzione gettoni) avviene almeno DUE volte.

Dopo l'ultimo giro, Aldo ha $20$ gettoni in tutto, Bruno ne ha $10$ e Carlo ne ha $9$.
Nell'ultimo giro Bruno ha ricevuto $r$ gettoni.

Chi ha ricevuto $q$ gettoni al primo giro?


Cordialmente, Alex

[Drazen77]

Nel terzo e ultimo giro Bruno ha ricevuto 8 gettoni.
Al primo giro è Carlo ad aver ricevuto $q$ gettoni, e cioè 4.

[axpgn]

Bravo


Come ci sei arrivato?

[Drazen77]

La procedura avviene almeno due volte, ma solo due pescate non vanno bene: sappiamo che Bruno (che arriverà a $10$) all'ultima pescata pescherà $r$ (cioè la carta con il valore più alto). Con solo due pescate Bruno dovrebbe pescare $1$ e $9$ oppure $2$ e $8$, ecc. In ogni caso Alberto non potrebbe arrivare a $20$.
Proviamo con con tre estrazioni: Bruno finirà a $10$ e se provo con $r=8$ (il più alto $r$ che possa pescare), tutto il resto esce in automatico:
Se Bruno ha un $8$, per arrivare a $10$ deve aver pescato $1, 1, 8$.
Ora due delle tre carte sono $1$ e $8$. Per arrivare a $20$ Aldo deve pescare due $8$, quindi avrà pescato $8, 8, 4$.
Di conseguenza Carlo pesca $4, 4, 1$, il cui totale è proprio $9$.

[Benihime1]

Se $n$ è il numero di estrazioni, allora $20+10+9=n(p+q+r)$.
Siccome $0
Bruno potrebbe aver pescato varie combo:
r+p+q, r+2p, r+2q, 2r+p, 2r+q, 3r
Ma, eccetto $r+2p$, sono tutte $\ge p+q+r=13$.
A questo punto ci sono solo 2 possibilità:
$10=8+2\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad r=8, q=4, p=1$
$10=6+2\cdot 2 \quad\Rightarrow\quad r=6, q=5, p=2$
Ma nel secondo caso, il minimo che Carlo potrebbe totalizzare è 5+5+2=12
Pertanto le tre estrazioni sono state
A B C
8 1 4
8 1 4
4 8 1

[axpgn]