Caramelle

[axpgn]

Un gruppo di ragazzi è seduto in cerchio e ognuno di essi possiede un certo numero di caramelle, generalmente diverso l'uno dall'altro (ed eventualmente anche nullo) ma sicuramente pari mentre al centro ne è posizionata un grande riserva.
Ad un certo punto, ogni ragazzo cede metà di ciò che possiede al proprio compagno di destra e dopo averlo fatto, se quello che gli è rimasto è dispari, prende una caramella dal mucchio centrale e ripristina la sua parità.
E poi proseguono in questo modo.

Cosa può succedere? È possibile che la quantità posseduta da qualcuno aumenti indefinitamente? Oppure potrebbe avvenire una qualche forma di stabilizzazione?
E se invece di prendere una caramella dalla riserva, i "dispari" mangiassero la caramella "spaiata" cosa succederebbe?
E nel caso in cui ognuno cedesse metà alla sua destra e metà alla sua sinistra?


Cordialmente, Alex

[mgrau]

"axpgn":
Ad un certo punto, ogni ragazzo cede metà di ciò che possiede al proprio compagno di destra e dopo averlo fatto, se quello che gli è rimasto è dispari, prende una caramella dal mucchio centrale e ripristina la sua parità.

Tanto per capire bene: ad un certo istante, tutti sono pari, e cedono metà del loro avere al vicino di destra. Però in questo modo non solo chi ha ceduto ma anche chi ha ricevuto può diventare dispari. Ripristinano entrambi la parità?

[axpgn]

Partono tutti pari.
Tutti quelli che diventano dispari ripristinano la (loro) parità prendendo una caramella dal mucchio di riserva.
Tutti i dispari, sia chi cede che chi riceve.

[mgrau]

Altra precisazione. Ad ogni giro, ciascuno Dà e Riceve. Ripristina la parità dopo i due scambi. E deve farlo se D + R è dispari. Giusto?

[axpgn]

Sì.

Ovvero dà e riceve e poi verifica se quello che ha è dispari ed in tal caso si prende una caramella dal "mazzo".
Ed in pratica, dato che parte sempre da un numero pari, diventa dispari se $D+R$ è dispari, come dici.

[axpgn]

Caramelle finite?

[axpgn]

Hint:

Ogni ragazzo inizialmente possiede un certo numero di caramelle e tra questi numeri ci sarà un minimo e un massimo.

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Hint 2:

Tra tutti i ragazzi ce n'è uno (o anche più) che ha il maggior numero di caramelle e ce n'è uno (o più) che ne ha il minor numero.
Questi limiti non sono superabili. Perché?

Cordialmente, Alex

[mgrau]

"axpgn":
Questi limiti non sono superabili. Perché?

Quello che ha di più, durante una mossa, può restare in pari se il suo predecessore era anche lui al massimo, oppure, se il predecessore ne aveva meno (almeno 2 in meno) scende di almeno 1. Se il numero è pari, resta così, se no, cresce di 1 e torna al più al valore di prima. Insomma, non può aumentare.
Idem per quello che ne ha di meno

[axpgn]

Bene.
Però non è tutto qui ...

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Abbiamo dimostrato che massimo e minimo non possono essere superati ma si può dire altro ...

Se massimo=minimo ovvero tutti hanno lo stesso numero di caramelle la situazione è stabile, altrimenti ad ogni giro almeno un minimo "sparisce".

Supponiamo che il minimo sia $m$ e che abbia un vicino con $m+2$ caramelle; il minimo aumenterà sicuramente dato che dopo la cessione possiederà $(m+m+2)/2=m+1$ caramelle cioè un numero dispari e quindi aggiungerà una nuova caramella a quelle che possiede per un totale di $m+2$; lo stesso accadde all'altro ragazzo.
Ne consegue che alla lunga si arriverà ad una situazione stabile.
Lo stesso accade quando invece di aggiungere una caramella, quella dispari viene mangiata; in tal caso sono i massimi a sparire.

E cosa accade quando si cedono metà caramelle a destra e metà a sinistra?

Cordialmente, Alex