Cappelli neri e bianchi.
Problema:
Un sacchetto contiene 2 cappelli, con probabilità \(1/2\) sono colorati di nero o di bianco. Determinare il colore dei due cappelli senza tirarli fuori.
Risposta:
Uno è bianco e l'altro è nero.
Dimostrazione:
Sappiamo che la probabilità di pescare un cappello nero da un sacchetto contenente 3 cappelli, di cui 2 neri e 1 bianco è di \(2/3\). Inoltre è l'unico sacchetto contenente 3 cappelli con questa probabilità di pescare un cappello nero, infatti ogni altro sacchetto di 3 cappelli bianchi o neri darebbe una probabilità differente. Il nostro sacchetto con 2 cappelli ha con probabilità \(1/4\) due cappelli neri (NN), con probabilità \(1/4\) due cappelli bianchi (BB) e con probabilità \(1/2\) un cappello nero e un cappello bianco (BN). Aggiungiamo al nostro sacchetto un cappello nero. Abbiamo che la probabilità di pescare un cappello nero da questo sacchetto è
\[ (1/4) \cdot 1 + (1/2) \cdot (2/3) + (1/4) \cdot (1/3) = 2/3 \]
quindi per il ragionamento di prima il nostro sacchetto contiene 2 cappelli neri e 1 bianco, ma abbiamo aggiunto un cappello nero, pertanto il sacchetto originale conteneva 1 cappello nero e 1 cappello bianco.
Dove sta l'errore?
Un sacchetto contiene 2 cappelli, con probabilità \(1/2\) sono colorati di nero o di bianco. Determinare il colore dei due cappelli senza tirarli fuori.
Risposta:
Uno è bianco e l'altro è nero.
Dimostrazione:
Sappiamo che la probabilità di pescare un cappello nero da un sacchetto contenente 3 cappelli, di cui 2 neri e 1 bianco è di \(2/3\). Inoltre è l'unico sacchetto contenente 3 cappelli con questa probabilità di pescare un cappello nero, infatti ogni altro sacchetto di 3 cappelli bianchi o neri darebbe una probabilità differente. Il nostro sacchetto con 2 cappelli ha con probabilità \(1/4\) due cappelli neri (NN), con probabilità \(1/4\) due cappelli bianchi (BB) e con probabilità \(1/2\) un cappello nero e un cappello bianco (BN). Aggiungiamo al nostro sacchetto un cappello nero. Abbiamo che la probabilità di pescare un cappello nero da questo sacchetto è
\[ (1/4) \cdot 1 + (1/2) \cdot (2/3) + (1/4) \cdot (1/3) = 2/3 \]
quindi per il ragionamento di prima il nostro sacchetto contiene 2 cappelli neri e 1 bianco, ma abbiamo aggiunto un cappello nero, pertanto il sacchetto originale conteneva 1 cappello nero e 1 cappello bianco.
Dove sta l'errore?
Risposte
Cordialmente, Alex
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