Cappelli colorati ... o no?

[axpgn]

Il re ha deciso di mettere nuovamente alla prova i suoi tre saggi.
Questa volta mostra loro 5 cappelli: 3 rossi e 2 verdi.
Ogni saggio viene bendato e gli viene messo in testa uno dei cappelli.
Quando viene tolta loro la benda dagli occhi, ognuno di essi può vedere di che colore è il cappello degli altri due ma non il proprio.
Però ... uno dei tre saggi è daltonico e non distingue il verde dal rosso ... (i tre saggi sono amici e tutti e tre sanno chi è quello daltonico).
Ai tre saggi, quindi, viene chiesto, in ordine, se sanno quale sia il colore del proprio cappello.
La conversazione è la seguente:

Alfonso: "Non so qual è il colore del mio cappello"
Bruno: "Anch'io non so qual è il colore del mio cappello"
Claudio: "Anch'io non so qual è il colore del mio cappello"
Alfonso: "Ancora non so qual è il colore del mio cappello"

La domanda è: chi è daltonico?


Cordialmente, Alex

[Studente Anonimo]

Bruno è daltonico e il suo cappello è rosso.

Da ora in poi, Alfonso = A, Bruno = B, Claudio = C.

Assumiamo che \(C \) è daltonico. Allora \(A\) e \(B \) non lo sono. Siccome \(A \) non sa il suo cappello possiamo escludere che \(B\) e \(C\) lo abbiano entrambi verde. Abbiamo dunque 6 possibilità per i colori dei cappelli, in ordine \(A,B,C\)
\[ R, R, R\]
\[ R, V, R \]
\[ R, R, V \]
\[ V, R, R\]
\[ V, V, R \]
\[ V, R, V \]

Siccome neppure \(B\) sa il colore del proprio cappello possiamo escludere anche le combinazioni \(V,R,V\) e \( R,R,V\) per ovvie ragioni. Pertanto \(C\) sa di sicuro che il proprio cappello è rosso grazie al fatto che \(A\) e \(B\) non lo sanno. Per far sì che la conversazione abbia senso, abbiamo che \(C\) non è daltonico. Dimenticando le prime risposte di quello daltonico (non sa perché non distingue i colori quindi non aggiunge informazione la prima risposta), possiamo traslare opportunamente verso sinistra quanto appena fatto con l'assunzione che \(C\) è daltonico (i.e. assumendo \(A\) daltonico l'ordine dei casi diventa \(B,C,A\)). Deduciamo che neppure \(A\) è daltonico poiché se lo fosse la seconda volta avrebbe dedotto di avere il cappello rosso grazie al fatto che \(B\) e \(C\) non sanno di che colore hanno il loro cappello. Quindi abbiamo che \(B\) è daltonico, e il suo cappello è rosso.

[Quinzio]

So che questa risposta non piacera', ma deve essere B, perche' B e' l'unico che non ha le stesse informazioni degli altri due.
Quando B da la sua risposta, conosce solo la risposta di A, mentre quando A parla l'ultima volta, conosce le risposte di B e C e anche C, quando da la sua risposta, conosce le risposte di A e B.
Quindi A e C hanno le stesse informazioni, sono in una situazione simmetrica, e quindi non possiamo sbilanciarci verso uno o l'altro. Per perfezionare la simmetria, A e C devono essere uguali e quindi uno dei due non puo' essere il daltonico.
B invece e' in una situazione diversa e quindi deve essere lui l'unico diverso, il daltonico.

[axpgn]

@Quinzio.
Non è proprio così ... $A$ fa due affermazioni mentre $C$ solo una quindi le due posizioni non sono perfettamente equivalenti.

E questo vale anche per @3m0o nel senso che non è giustificata al 100% questa "traslazione" a sinistra proprio per quanto detto sopra ... a mio parere, occorrerebbe un pochino di formalismo in più ... IMHO

[Studente Anonimo]

"axpgn":

@Quinzio.
Non è proprio così ... $A$ fa due affermazioni mentre $C$ solo una quindi le due posizioni non sono perfettamente equivalenti.

E questo vale anche per @3m0o nel senso che non è giustificata al 100% questa "traslazione" a sinistra proprio per quanto detto sopra ... a mio parere, occorrerebbe un pochino di formalismo in più ... IMHO

Non sono d'accordo per la mia, è giustificata in modo sufficiente

Le seguenti due scenario sono equivalenti: nel senso che le informazioni rispetto al colore del proprio cappello nello scenario 1 che \(C\) ottiene sapendo 1.1), 1.2) e 1.3) sono le medesime delle informazioni che ottiene \(A\) nello scenario 2 rispetto al colore del proprio cappello sapendo 2.1), 2.2), 2.3) e 2.4):

Scenario 1:
1.1) \(C \) è daltonico
1.2) \(A\) dice per primo "non lo so"
1.3) \( B\) dice per secondo "non lo so"

Scenario 2:
2.1) \(A\) è daltonico
2.2) \(A\) dice per primo "non lo so"
2.3) \(B\) dice per secondo "non lo so"
2.4) \(C\) dice per terzo "non lo so"

Ho usato solo questo per la traslazione. Nello scenario 1) si usa: 1.4) \(C\) dice per terzo "non lo so", per dedurre che non può essere daltonico, mentre nello scenario 2 si usa 2.5) \(A\) dice una seconda volta "non lo so", per concludere che \(A\) non è daltonico.

E' come un operatore "forget first answer if the first one is daltonic". Fondamentalmente nello scenario 2, dimentichi \(A\) al primo turno perché non aggiunge informazioni poiché parla per primo e quindi puoi traslare tutto a sinistra. Ergo lo scenario 2 è equivalente allo scenario 3 che è equivalente allo scenario 1.

Scenario 3:
3.1) \(A\) è daltonico
3.2) \(B\) dice per primo "non lo so"
3.3) \(C\) dice per secondo "non lo so"

[Studente Anonimo]

"3m0o":[quote="axpgn"]

@Quinzio.
Non è proprio così ... $A$ fa due affermazioni mentre $C$ solo una quindi le due posizioni non sono perfettamente equivalenti.

E questo vale anche per @3m0o nel senso che non è giustificata al 100% questa "traslazione" a sinistra proprio per quanto detto sopra ... a mio parere, occorrerebbe un pochino di formalismo in più ... IMHO

Non sono d'accordo per la mia, è giustificata in modo sufficiente

Le seguenti due scenario sono equivalenti: nel senso che le informazioni rispetto al colore del proprio cappello nello scenario 1 che \(C\) ottiene sapendo 1.1), 1.2) e 1.3) sono le medesime delle informazioni che ottiene \(A\) nello scenario 2 rispetto al colore del proprio cappello sapendo 2.1), 2.2), 2.3) e 2.4):

Scenario 1:
1.1) \(C \) è daltonico
1.2) \(A\) dice per primo "non lo so"
1.3) \( B\) dice per secondo "non lo so"

Scenario 2:
2.1) \(A\) è daltonico
2.2) \(A\) dice per primo "non lo so"
2.3) \(B\) dice per secondo "non lo so"
2.4) \(C\) dice per terzo "non lo so"

Ho usato solo questo per la traslazione. Nello scenario 1) si usa: 1.4) \(C\) dice per terzo "non lo so", per dedurre che non può essere daltonico, mentre nello scenario 2 si usa 2.5) \(A\) dice una seconda volta "non lo so", per concludere che \(A\) non è daltonico.

E' come un operatore "forget first answer if the first one is daltonic". Fondamentalmente nello scenario 2, dimentichi \(A\) al primo turno perché non aggiunge informazioni poiché parla per primo e quindi puoi traslare tutto a sinistra. Ergo lo scenario 2 è equivalente allo scenario 3 che è equivalente allo scenario 1.

Scenario 3:
3.1) \(A\) è daltonico
3.2) \(B\) dice per primo "non lo so"
3.3) \(C\) dice per secondo "non lo so"

[/quote]

Essenzialmente

Se vuoi che il tuo dialogo sia
\(A\): non so di che colore sia il mio cappello
\(B\): non so di che colore sia il mio cappello
\(C\): non so di che colore sia il mio cappello

Puoi inserirci un daltonico nelle prime 2 posizioni ma non nella terza. Siccome \(A\) parla due volte, allora siccome dice ancora non lo so esclude anche la prima posizione e resta solo la seconda per il daltonico. Infatti il tuo dialogo è

\(A\): non so di che colore sia il mio cappello
\(B\): non so di che colore sia il mio cappello
\(C\): non so di che colore sia il mio cappello
\(A\): non so di che colore sia il mio cappello

Che esclude che il daltonico sia in prima posizione. A questo punto sappiamo che \(B\) è daltonico e che il dialogo evolve nel seguente modo:

\(A\): non so di che colore sia il mio cappello
\(B\): non so di che colore sia il mio cappello
\(C\): non so di che colore sia il mio cappello
\(A\): non so di che colore sia il mio cappello
\(B\): il mio cappello è rosso

Se \(A\) fosse stato daltonico lo avrebbe detto lui la seconda volta.

[axpgn]

A me sembra invece che mi dai ragione ...

Voglio dire che non ho mai sostenuto che non siano equivalenti ma che sono diversi (gli scenari), non sono "simmetrici by rotazione" (abuso di definizione ); di fatto nei tuoi interventi successivi hai formalizzato quel "pelino" in più che serviva ... IMHO

Cordialmente, Alex