Calzini

[axpgn]

Un cassetto contiene calzini rossi e calzini neri.
Quando si estraggono due calzini in modo casuale, la probabilità che entrambi siano rossi è pari a $1/2$.

Qual è il minimo numero di calzini che il cassetto contiene?
E qual è il minimo se il numero dei calzini neri è pari?

Cordialmente, Alex

[andomito]

Il minimo è quattro calzini, uno nero e tre rossi.
se invece i neri sono a coppie servono 23 calzini, sei neri e 17 rossi

Ma a questo punto, prima di dare la formula risolutrice, rilancio: è possibile che i calzini nel cassetto inizialmente siano a coppie (entrambi in numero pari?)

[superpippone]

3 rossi e 1 nero; 15 rossi e 6 neri.

[andomito]

"superpippone":

3 rossi e 1 nero; 15 rossi e 6 neri.

Confermo la risposta di superpippone: per la seconda domanda avevo fatto male il conto dei rossi.

Ma alla domanda aggiuntiva (possono essere tutti accoppiati?) come rispondete?

[axpgn]

That's impossible

Cordialmente, Alex

[andomito]

"axpgn":

That's impossible

Cordialmente, Alex

Sono convinto anch'io che chiunque vesta esclusivamente calzini rossi e neri e pretenda di accoppiarli prendendoli a caso in un cassetto, di certo ne ha uno spaiato in fondo alla cesta dei panni. Ma la dimostrazione?

[axpgn]

Questo è tutto un altro discorso!
Te la dimostro a spanne

Siccome si semplifica tutto ma rimane un $2$ sotto allora il numero pari sottostante deve avere un $2$ in più di quello pari soprastante, di conseguenza i due numeri dispari saranno di due forme diverse cioè $4k+1$ quello sopra e $4h+3$ quello sotto.
No?

Cordialmente, Alex

[marmi1]

Ciao,
non mi è chiaro: cosa c'è "sopra" e cosa "sotto"?
Ciao,
Marmi

[axpgn]

@marmi
Scusami ma non avevo voglia di scrivere, quindi sono andato "a spanne" …

Poniamo sia $r$ il numero di calzini rossi e sia $n$ il numero di quelli neri allora dovrà essere $1/2=r/(r+n)*(r-1)/(r+n-1)$.
Come vedi abbiamo quattro numeri naturali: $r, r+n, r-1, r+n-1$
Due sono pari (cioè $r$ e $r+n$ nell'ultima ipotesi) e gli altri due sono dispari.
Con "sopra" e "sotto" mi riferivo al numeratore (sopra) e al denominatore (sotto) …

Ciao0, Alex

[marmi1]

Ciao,

non sono riuscito a capire come le semplificazioni portino al rapporto tra 2 numeri dispari diversi tra loro
modulo 4.

\(\displaystyle \frac{1}{2} = \frac{r}{r+n} \cdot \frac{r-1}{r+n-1} \)

siano \(\displaystyle r={2^a} \cdot b \), \(\displaystyle r+n =2^{a+1}\cdot d \), \( b \) e \(d\) dispari
\(\displaystyle 1= \frac{b}{d} \cdot \frac{{2^a}\cdot b-1}{{2^a}\cdot d-1} \)
non so come procedere.

Io ho seguito questa via:

deve essere \(\displaystyle r>n \) sia \(\displaystyle c=r-n \)
vale \(\displaystyle r \cdot (r-1)= n \cdot (n-1+r) + r \cdot n \)
ossia \(\displaystyle (c+n) \cdot (c+n-1)= n \cdot (n-1+c+n) + (c+n)\cdot n \)
vale \(\displaystyle c \cdot (c-1) =2n^2 \) e \(\displaystyle c \) e \(\displaystyle (c-1) \) sono coprimi.
Quello pari è il doppio di un quadrato, quello dispari è un quadrato.
Se \(\displaystyle c \) è pari, vale \(\displaystyle c =2f^2\), ma \(\displaystyle 2f^2-1\) non può essere un
quadrato per \(\displaystyle f \) pari, quindi \(\displaystyle n= f \cdot \sqrt{2f^2-1} \) è dispari.
Se \(\displaystyle c \) è dispari, \(\displaystyle c-1=2f^2 \) e \(\displaystyle c-1=g^2-1=2f^2 \Rightarrow f,n\) pari.
Se non mi sono perso in mezzo ai conti, \(\displaystyle r=c+n \) è sempre dispari.

Ciao,
Marmi

[axpgn]

Son convinto che sia impossibile ma non ho una dimostrazione, quella era solo un'idea (ma sbagliata )
Riguardo alla tua, invece, non sono riuscito a seguirla, a collegare i vari passaggi; potresti dettagliarla meglio? Grazie

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Ci sono arrivato

Direi notevole


Cordialmente, Alex

[andomito]

"marmi":Ciao,
Io ho seguito questa via:

deve essere \(\displaystyle r>n \) sia \(\displaystyle c=r-n \)
vale \(\displaystyle r \cdot (r-1)= n \cdot (n-1+r) + r \cdot n \)
ossia \(\displaystyle (c+n) \cdot (c+n-1)= n \cdot (n-1+c+n) + (c+n)\cdot n \)
vale \(\displaystyle c \cdot (c-1) =2n^2 \) e \(\displaystyle c \) e \(\displaystyle (c-1) \) sono coprimi.
Quello pari è il doppio di un quadrato, quello dispari è un quadrato.
Se \(\displaystyle c \) è pari, vale \(\displaystyle c =2f^2\), ma \(\displaystyle 2f^2-1\) non può essere un
quadrato per \(\displaystyle f \) pari, quindi \(\displaystyle n= f \cdot \sqrt{2f^2-1} \) è dispari.
Se \(\displaystyle c \) è dispari, \(\displaystyle c-1=2f^2 \) e \(\displaystyle c-1=g^2-1=2f^2 \Rightarrow f,n\) pari.
Se non mi sono perso in mezzo ai conti, \(\displaystyle r=c+n \) è sempre dispari.

Ciao,
Marmi