Calze

[axpgn]

Alla fine i quattro amici si sono accordati e Celeste ha ricevuto in regalo delle calze eleganti che ha riposto in un cassetto.
All'interno ci sono solo calze rosse e calze blu.
Se Celeste ne estrae due a caso, la probabilità di prenderne un paio rosso è pari a $1/2$, mentre la probabilità di prenderne un paio blu è $1/12$.

Quante calze ci sono nel cassetto?



Cordialmente, Alex

[3m0o]

"axpgn":Alla fine i quattro amici si sono accordati e Celeste ha ricevuto in regalo delle calze eleganti [...]

[axpgn]

Ho preso la palla al balzo ...

[gabriella127]

"axpgn":Alla fine i quattro amici si sono accordati e Celeste ha ricevuto in regalo delle calze

Gli amici sono parecchio tirati.

[axpgn]

No, no.

E poi, casomai sarà stato, con molta probabilità, quel tirchio di Daniele

[3m0o]

Mah... sarà stata probabilmente Beatrice
La domanda è quanto tempo ci hanno messo a fare il Santa? Comunque se non ho fatto errori di calcolo

Ci sono 85 calze rosse e 35 calze blue. E dunque nel cassetto ci sono 120 calze

[Super Squirrel]

Ci sono altre strade o bisogna per forza risolvere un sistema di quarto grado? E in tal caso quale potrebbe essere l'approccio più semplice? Parametrizzando una delle variabili e sostituendo mi trovo con la soluzione fornita da @3m0o, ma viene fuori un bel casino!

[3m0o]

@SuperSquirrel

Non so se sia l'unica strada, spero di no
Ma io ho fatto il sistema e poi non ci ho più pensato. Comunque la risoluzione del sistema può essere la seguente
Chiamando \(r\) il numero di calze rosse nel cassetto e \(b\) quelle blue
\[
\left\{\begin{matrix}
\frac{r(r-1)}{(r+b)(r+b-1)} & = & \frac{1}{2} \\
& & \\
\frac{b(b-1)}{(r+b)(r+b-1)} & = & \frac{1}{12}
\end{matrix}\right.
\]
Nota che sommando la prima equazione più 6 volte la seconda ottieni 1 quindi
\[ \frac{r(r-1)+6b(b-1)}{(r+b)(r+b-1)} = 1 \]
Da qui con semplici passaggi algebrici ottieni
\[ b(5b - (5+2r)) = 0 \]
siccome \( b \neq 0 \) abbiamo che \( b = 1+2r/5 \).
Ora nota che facendo la prima equazione meno 6 volte la seconda ottieni 0 quindi
\[ \frac{r(r-1)-6b(b-1)}{(r+b)(r+b-1)} = 0 \]
Del denominatore te ne infischi. E sostituendo il valore di \(b\) precedentemente trovato otteniamo l'equazione di secondo grado seguente
\[ \frac{r}{5} \left( \frac{r}{5} - 17 \right) = 0 \]
Siccome \(r \neq 0 \) ne consegue che \(r= 85 \) e \(b=35\).

[Super Squirrel]

"3m0o":Ma io ho fatto il sistema e poi non ci ho più pensato. Comunque la risoluzione del sistema può essere la seguente...

In effetti così risulta più agevole!

[axpgn]

Anch'io ho fatto quel sistema, però poi ho tribolato parecchio per venirne a capo

Cordialmente, Alex