Calcolo della metà dell'area del cerchio

[giocamela]

In fotografia ogni "passo" del diaframma dell'obiettivo, chiamato stop, riduce della metà il passaggio della luce.
Ogni stop riduce il diametro del diaframma di \( \sqrt 2\).
Come lo dimostro?
Ovvero, se il diaframma ha un diametro di \(50 mm\) la superfice del cerchio che forma è \(1963,5 mm^2\) ( \( \text{d} \cdotp \text{d} \cdotp \pi \colon 4\))
Se chiudo il diaframma di 1 stop, il diametro si riduce a \(35,4 mm\) ( \( 50 \colon \sqrt 2\) ) e la superficie diventa \( 981,75 mm^2\)
Da appassionato dilettante di matematica e di fotografia mi piacerebbe dare una spiegazione analitica a questo problema.
Grazie per l'attenzione
Riccardo

[@melia]

Dalla formula della superficie
$S=(dd pi )/4= d^2 pi/4$ ricavi il diametro $d= sqrt((4S)/pi)$ e $d = 2 sqrt(S/pi)$,
se la superficie si dimezza il nuovo diametro $d_1$ è dato da
$d_1=2 sqrt((S/2)/pi)$ che diventa $d_1=2 sqrt(S/(2pi))$ che può essere scritta anche come $d_1=2 sqrt(S/pi)*1/sqrt2$ ovvero $d_1=d/sqrt2$

[giocamela]

Grazie \( 1000 \) .
La risposta e' arrivata prima che avessi completato la domanda con le formule!
A presto
Riccardo