Calcolo combinatorio

[Godina1]

Salve a tutti,
Scrivo per richiedere un grosso aiuto

Ho due problemi da risolvere ed il mio cervellino sta andando ormai in tilt...

"L'allenatore Gianni si sta preparando ad una gara importante ed è incaricato di comporre la sua squadra per gareggiare, tale squadra sarà composta da 4 concorrenti.
A disposizione di Gianni ci sono in totale 16 concorrenti da lui allenati.
Ogni concorrente è collocato in una determinata categoria ed è numerato (le categorie sono quattro: A, B, C, D).
gli atleti a disposizione di Gianni sono così suddivisi:
Fascia A: A1, A2, A3, A4
Fascia B: B1, B2, B3
Fascia C: C1, C2, C3, C4
Fascia D: D1, D2, D3, D4, D5

Il criterio con cui Gianni comporrà la sua squadra da 4 atleti è questo:
Un solo atleta per fascia. (ne deriva che ci sarà un concorrente di fascia A, uno di fascia B, uno di fascia C e uno di fascia D)

Quante sono le possibili squadre a disposizione di Gianni?"

Secondo quesito

"lo stesso Gianni presto affronterà un'altra gara ma questa volta la composizione della squadra è leggermente diversa.
La squadra è sempre composta da 4 atleti, a disposizione di Gianni ci sono 16 baldi giovani, ognuno di essi è numerato ed inserito in una propria fascia di appartenenza e ad ogni fascia è assegnato un punteggio che verrà trasferito al giocatore se scelto per partecipare alla gara, come sotto indicato.
Fascia A: A1, A2, A3, A4 ---------------------> 4 punti/giocatore
Fascia B: B1, B2, B3, B4 ----------------------> 3 punti/giocatore
Fascia C: C1, C2, C3, C4 ---------------------> 2 punti/giocatore
Fascia D: D1, D2, D3, D4 --------------------> 1 punti/giocatore

Gianni potrà scegliere i giocatori che preferisce, anche più per fascia, ma non dovrà superare, complessivamente, 12 punti.
es: (A1 + B2 + B3 + C4) = (4 + 3 + 3 + 2) = 12 punti

Quante sono nuovamente le possibili squadre a disposizione di Gianni?"


Riuscite ad aiutarmi ?

[anonymous_c5d2a1]

Per il primo le possibili squadre sono $240$ cioè il prodotto delle combinazioni:

$C_(4,1)*C_(3,1)*C_(4,1)*C_(5,1)$ quindi $(4!)/((4-1)!*1!)*(3!)/((3-1)!*1!)*(4!)/((4-1)!*1!)*(5!)/((5-1)!*1!)=240$

[marco99991]

@anonymous_c5d2a1 ha giustamente risposto al primo quesito.
Per il secondo mi verrebbe da fare così. Quante sono le possibili scelte di 4 giocatori in un insieme di 16?
$((16),(4))=1820$
Quante quelle che non soddisfano ai requisiti (somma punteggi maggiore di 12) ?
Posso scegliere le seguenti quaterne di punteggi:
tutti i giocatori da 4 -> $1$ possibilità
tre giocatori da 4 e uno da 1,2, o 3 -> $4*12=48$
due giocatori da 4 e due da 3 -> $6*6=36$
due giocatori da 4, uno da 3 e uno da 2 -> $6*4*4=96$
un giocatore da 4 e necessariamente tre da 3 -> $4*4=16$

e qui si esauriscono le possibilità, salvo errori.
In tutto le scelte possibili saranno $1820-(1+48+36+96+16)=1820-197=1623$

[Godina1]

mmm al secondo avevo fatto lo stesso ragionamento, mentre il primo quesito mi dava un po' di problemi...mi sembrano poche 240...
potrebbe essere una soluzione calcolare le possibilità totali, come ha fatto Marco9999 per il secondo, e poi sottrarre tutte le quaterne che riportano più di un elemento della stessa fascia?

scusate ma la soluzione di @anonymous_c5d2a1 non mi è chiara...

c'è la possibilità di avere l'elenco di tutte le quaterne possibili nei due casi? Ovviamente senza sciverle a mano, magari utilizzando un foglio Excel o altri programmi...vorrei calcolare alcune percentuali come per esempio:
1° quesito
> la percentuale di quante volte compare in una squadra ogni singolo atleta
2° quesito
> la percentuale delle squadre che hanno un atleta di fascia D e/o di fascia C
> la percentuale delle squadre che hanno due atleti di fascia D e/o di fascia C
> la percentuale delle squadre che hanno tre atleti di fascia D e/o di fascia C
> la percentuale delle squadre che non hanno tra i loro atleti membri della fascia D
> la percentuale di quante volte compare in una squadra ogni singolo atleta

[anonymous_c5d2a1]

Godina nel primo hai scritto: "Il criterio con cui Gianni comporrà la sua squadra da 4 atleti è questo: un solo atleta per fascia. Ne deriva che ci sarà un concorrente di fascia A, uno di fascia B, uno di fascia C e uno di fascia D". Adesso ti pongo una domanda io. Ti sembrano pochi $240$? Se ci metti un solo concorrente per ogni fascia, scusami eh!

[marco99991]

Godina, ogni esercizio ha un suo metodo di risoluzione. Nel primo è più comodo fare come ha fatto @anonymous_c5d2a1 (e come avrei fatto io o chiunque altro), nel secondo avrei potuto contare le combinazioni con somma 1,2,...,12 e poi sommare il tutto o utilizzare chissà quali altri metodi, ma credo fosse più facile fare nel modo che ho illustrato. Certo che nel primo si può fare come dici, ma richiede molto più tempo. Se ho 4 fasce con 4,3,4,5 elementi, è naturale che le scelte possibili di un elemento per fascia siano $4*3*4*5$. Se poi vuoi utilizzare un altro metodo, sicuramente sarà più complicato. La soluzione in ogni caso è $240$.
Con excel puoi fare quello che chiedi. Puoi scrivere tutte le combinazioni (senza fare tanta fatica!) e utilizzare le formule del programma (if, max, average, etc...)