Calcolare $x_0$ relativa all'area sottesa al ramo destro della parabola $y=x^2$ e compresa tra le rette $x=0$ ed $x=x_0$

[curie88]

Assegnata l'area $\pi$ sottesa al ramo destro della parabola $y=x^2$ e compresa tra le rette verticali e parallele all' asse delle ordinate di equazioni:
$x=0$ e $x=x_0$, determinare il valore di $x_0$.
Se il problema non vi risulta chiaro, o vi sono omissioni, potete segnalarmi gli errori di esposizione, in caso contrario tentate di risolverlo. Io credo di averlo risolto senza l'ausilio dell'analisi moderna.
Buon lavoro e serata, saluti.

[axpgn]

Presumo tu abbia usato il teorema di Archimede e l'area del segmento parabolico.

Comunque, ti sei dimenticato di dire sottesa alla funzione ma sopra l'asse delle ascisse

$x_0=root (3)(3pi) $

[curie88]

La dimenticanza nella domanda è purtroppo vera, ma fortunatamente sei perspicace e sintetico.
axpgn mi esce un risultato leggermente differente, puoi postare la soluzione che poi posto la mia...
Il mio risultato che esce è diverso.
No solo alcuni calcoli del t.d.Archimede, ma è differente la soluzione.

[curie88]

Comunque a occhio il tuo è corretto di risultato, considerando che è circa un triangolo rettangolo quell' area. La mia è assai minore, cerco l'errore...

[curie88]

Anche a me, ora esce il tuo stesso risultato
Detta $M$ l'ordinata media tra l'origine e $x_0$, si deve avere:
$M^2 = \pi/x_0 = x_0^2 / 3$
Da cui subito il tuo. Tu come hai fatto...

[axpgn]

Una modalità è questa …

Detta $x_0$ l'ascissa da trovare, noto che l'area sottesa che vale $pi$ è la differenza tra l'area del rettangolo di vertici $(0,0),(x_0,0),(x_0,x_0^2),(0,x_0^2)$ e metà del segmento parabolico retto che si ottiene dall'intersezione della parabola $x^2$ e la retta $y=x_0^2$.
L'area del rettangolo è $A_r=x_0*x_0^2=x_0^3$ mentre l'area del segmento parabolico è $A_s=1/6(x_b-x_a)^3$ ovvero, nel nostro caso, $A_s=1/6(x_0-(-x_0)^3)=1/6(2x_0)^3=8/6x^3$ ma a noi ne serve metà perciò $A_(s2)=2/3x_0^3$.
Da cui $pi=A_r-A_(s2)=x_0^3-2/3x_0^3\ ->\ 3pi=x_0^3$

[curie88]

Ok, hai usato il teorema di Archimede usando la differenza tra le ascisse. Bene.
Invece io ho preso solo la sintesi di questo teorema come puoi vedere nell'equazione da cui trovo $x_0$;
Infatti la sintesi è che l'area del triangolo rettangolo mistilineo $x_0^3/3$ (col ramo della parabola anziché l'ipotenusa) è equivalente ad $1/3$ dell'area del rettangolo circoscritto $x_0^3$ al segmento parabolico in questione.
Quindi al primo membro dell'equazione: $M^2 = \pi/x_0 = x_0^2/3$
vi è il teorema della media e calcolo $M^2$ ordinata di media altezza avente stessa area del triangolo mistilineo, al secondo membro vi è sempre $M^2$, inteso come area calcolata con il t.d.Archimede dividendo per l'ascissa $x_0$.
Saluti. Bona serata.