Buongiornissimo KAFFE

[FreddyKruger]

Frege ha deciso di usare il suo rimborso delle tasse per comprarsi 1000 caffè. Per ogni $N$ compreso tra 1 e 1000,
l’$N$-esimo caffè ha un contenuto di caffeina pari a $N/s(N)$, dove $s(N)$ è la somma delle cifre di $N$: per esempio,
il 433esimo caffè ne contiene $frac (433)(4+3+3)$
Qual è la quantità totale di caffeina che assumerà Frege, pari alla somma dei contenuti di caffeina di tutti i caffè?

Answer

7963

[axpgn]

Te ne mancano un po' ...

[FreddyKruger]

La soluzione è quella ufficiale, non credo sia sbagliata

[axpgn]

O è sbagliata o l'hai riportata male

A riprova ...

Supponiamo di dividere tutti i mille numeri per $27$ che è il massimo denominatore possibile (e quindi genera la minima somma possibile) cioè prendiamo $M=(1000*1001)/2=500.500$ che è la somma dei primi mille numeri e dividiamola per $27$, otteniamo $18537$ e rotti ...

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Fra l'altro, credo di aver trovato il metodo ...

I denominatori vanno da $1$ a $27$
Per trovare i numeratori di goni denominatore si procede come segue:
- si partiziona ogni denominatore in interi usando ovviamente solo le singole cifre; per esempio $7$ va scomposto nei seguenti casi: $7, 6+1, 5+2, 5+1+1, 4+3, 4+2+1, 3+3+1, 3+2+2$
- ogni caso vale $3$ (come $3+2+2: 223, 232, 322$) oppure $6$ (come $4+3: 034, 043, 304, 403, 340, 430$)
- si sommano i "pesi" di ogni caso" (per $7$ sono $36$)
- si trova la "base" (si prende un caso qualsiasi, si sommano i tre o sei numeri e si divide per tre o per sei, per esempio $3+2+2: 223+232+322=777\ ->\ b=777/3=259$
- si moltiplica la "base" per la somma dei "pesi" ed ecco il numeratore di quel denominatore (in questo caso $7$)
- si sommano tutte le frazioni così ottenute

Il risultato è $37963$

Se non ho fatto casino ...

Cordialmente, Alex

[FreddyKruger]

Ho capito, visto che il problema è tratto da una gara a squadre di mate dove le soluzioni sono un numero di 4 cifre, può darsi che loro volessero solo le ultime 4 cifre, che corrispondono alla soluzione ufficiale
Ci sono un sacco di conti da fare se non ho capito male, per ogni possibile valore del denominatore si fanno una serie di addizioni :O :O

[axpgn]

Eh no, così no vale, potevi dirlo subito, io ho fatto tutto da solo

Ogni numero di tre cifre (tengo conto anche degli zeri non significativi come $011$ per esempio) lo cataloghiamo in tre tipologie: a cifra unica (come $333$), a due cifre diverse (come $221$) e a tre cifre diverse (come $653$).
Il primo tipo da luogo ad una sola permutazione ($aaa$), il secondo a tre ($aab, aba, baa$) e il terzo a sei ($abc, acb, bac, bca, cab, cba$).
Per ogni combinazione definita di cifre (p.es. $a=2, b=1, c=5$) avremo un solo denominatore (cioè D=s(N)=a+b+c) ma un numero solo nel primo tipo ($100a+10a+a=111a$), tre numeri nel secondo ($100a+10a+b, 100a+10b+a, 100b+10a+a=222a+110b=111(2a+b)$) e sei numeri nel terzo ($100a+10b+c, 100a+10c+b, 100b+10a+c, 100b+10c+a, 100c+10a+b, 100c+10b+a=111[2(a+b+c)]$).
I denominatori possibili vanno dall'$1$ al $27$; ciascuno di essi è generato da diverse combinazioni di cifre (p.es. il $16$ è prodotto da $14$ combinazioni diverse mentre il $22$ "solo" da $5$) e per ognuna di esse vanno calcolate le somme suddette.
A quel punto basta dividere il totale relativo a ciascun denominatore per il denominatore stesso e poi sommarli tutti.

Cordialmente, Alex