Bel problemino...
Riporto qui il post di Angy del forum Medie Superiori:
Che ne dite?
Bello eh? ...
ciao e divertitevi!
fireball
citazione:
" ma ciao miei carissimi cervelloni!!!
visto che avete tanto tempo libero vi propongo un altro bel problemino...considerate un triangolo equilatero inscritto in un cerchio.dividete ciasun lato in 3parti uguali e cancellate quella centrale.costruite un altro triangolino equilatero che abbia x base il terzo del lato centrale cancellato,così da ottenere una stella a sei punte(sempre inscritta nella circonferenza!!!)ripetendo questo procedimento100 volte(quindi si ottiene una figura che nn è più inscritta nella circonferenza..)trovare quanto tempo ci impiega un raggio di luce a percorrere il perimetro della figura formata(c=3*10^8..x chi nn lo sapesse...)
ciao ciao e...auguri!!!
Che ne dite?
Bello eh? ...
ciao e divertitevi!
fireball
Risposte
Manca quanto è lungo un lato, ma possiamo mettere tutto in funzione di L (lato del triangolo equilatero).
Con il procedimento descritto ogni lato viene diviso in 3 (parti lunghe L/3) ne tolgo una e ne aggiungo 2, quindi ogni “lato” ha ora 4 parti.
Parto da un perimetro di 3L, dopo il primo passaggio moltiplico per 4/3 ed il perimetro risulta 4L.
Il procedimento va ripetuto 100 volte quindi devo moltiplicare 100 volte per 4/3, il perimetro totale sarà
3L*(4/3)^100
che risulta circa 9,354 * 10^12 L
Se L fosse 1 metro, la luce impiegherebbe 31180 secondi! Circa 8 ore e 40 minuti!
WonderP.
Con il procedimento descritto ogni lato viene diviso in 3 (parti lunghe L/3) ne tolgo una e ne aggiungo 2, quindi ogni “lato” ha ora 4 parti.
Parto da un perimetro di 3L, dopo il primo passaggio moltiplico per 4/3 ed il perimetro risulta 4L.
Il procedimento va ripetuto 100 volte quindi devo moltiplicare 100 volte per 4/3, il perimetro totale sarà
3L*(4/3)^100
che risulta circa 9,354 * 10^12 L
Se L fosse 1 metro, la luce impiegherebbe 31180 secondi! Circa 8 ore e 40 minuti!
WonderP.
oddio è vero scusate...cmq mettete il caso che il lato sia di 1metro!!!la tua soluzione wonderp è quasi giusta!!!fa circa 10ore cmq...ciao ciao
Quello che incuriosisce, angy2 , è il valore della tua soluzione,
"la tua soluzione wonderp è quasi giusta!!!fa circa 10ore"
che è in rapporto di circa 1,1546 rispetto al risultato di WonderP ("Circa 8 ore e 40 minuti" con cui concordo pienamente).
E' come se in più tu avessi la radice dei famigerati 4/3 (1,1547);
un intero l'avrei giustificato, per la radice non riesco a raccapezzarmi.
Errore? Coincidenza? Oppure un modo diverso di contare qualcosa?
Facci sapere i dettagli, se vuoi, angy2.
Ciao a tutti da Tony
"la tua soluzione wonderp è quasi giusta!!!fa circa 10ore"
che è in rapporto di circa 1,1546 rispetto al risultato di WonderP ("Circa 8 ore e 40 minuti" con cui concordo pienamente).
E' come se in più tu avessi la radice dei famigerati 4/3 (1,1547);
un intero l'avrei giustificato, per la radice non riesco a raccapezzarmi.
Errore? Coincidenza? Oppure un modo diverso di contare qualcosa?
Facci sapere i dettagli, se vuoi, angy2.
Ciao a tutti da Tony
ma ciao cervelloni!
allora il procedimento è il seguente:
per trovare il perimetro della figura alla 100 suddivisione del lato
3*4^100*1/3^100=3*10^12
questo perchè la lunghezza del lato aumenta di1/3 ad ogni suddivisione mentre il numero dei lati va a potenze di 4.
alla prima suddivisione di aggiungono 4^0lati alla seconda 4^1,alla terza 4^2 e così via..
quindi dividendo il perimetro per la velocità della luce si ottengono 10^4secondi che sono appunto circa 10 ore!!
allora il procedimento è il seguente:
per trovare il perimetro della figura alla 100 suddivisione del lato
3*4^100*1/3^100=3*10^12
questo perchè la lunghezza del lato aumenta di1/3 ad ogni suddivisione mentre il numero dei lati va a potenze di 4.
alla prima suddivisione di aggiungono 4^0lati alla seconda 4^1,alla terza 4^2 e così via..
quindi dividendo il perimetro per la velocità della luce si ottengono 10^4secondi che sono appunto circa 10 ore!!
La curva descritta si chiama curva di Kock ed ha la sigolare caratteristica, se il procedimento è ripetuto indefinitamente, di avere lunghezza infinita ma di racchiudere una area finita.
Propongo pertanto la seguente estensione del problema:
Quanto misura l'area racchiusa dalla curva se il triangolo equilatero di partenza ha i lati di lunghezza 1 m ?
Propongo pertanto la seguente estensione del problema:
Quanto misura l'area racchiusa dalla curva se il triangolo equilatero di partenza ha i lati di lunghezza 1 m ?
La mia risposta era 3*(4/3)^100 = 9,354 * 10^12
Quella di angy2 3*4^100*1/3^100 = 3*10^12
Le equazioni sono uguali, ma i risultati sono diversi. Inoltre 10^4 secondi non sono circa 10 ore ma 2,78 ore. Prova a riguardare i conti, ciao.
MaMo, come sempre bei problemi, ora ho un po’ da fare, ma appena ho un po’ di tempo ci penso.
Il giocherellone WonderP.
Quella di angy2 3*4^100*1/3^100 = 3*10^12
Le equazioni sono uguali, ma i risultati sono diversi. Inoltre 10^4 secondi non sono circa 10 ore ma 2,78 ore. Prova a riguardare i conti, ciao.
MaMo, come sempre bei problemi, ora ho un po’ da fare, ma appena ho un po’ di tempo ci penso.
Il giocherellone WonderP.
Ciao a tutti.
Forse riesco a spiegare la differenza tra le 10 ore di angy2 e le nostre 8h 40m:
Ipotizziamo che l'altezza del triangolo sia di un metro, NON il suo lato;
tutto fila liscio:
L= 2/sqr(3); t = 3*L*(4/3)^100 / (3*10^8) = 36003,36 s
Per quanto riguarda il bel problema di MaMo, mi pare che la serie dei 4/9 converga a 8/5 dell'area originale del triangolo, cioè (con LATO da un metro) a 1.6 * sqr(3)/4 = .693 m^2; ma con tutte quelle punte rischio di confondermi, pare una carta vetrata!
Tony
Forse riesco a spiegare la differenza tra le 10 ore di angy2 e le nostre 8h 40m:
Ipotizziamo che l'altezza del triangolo sia di un metro, NON il suo lato;
tutto fila liscio:
L= 2/sqr(3); t = 3*L*(4/3)^100 / (3*10^8) = 36003,36 s
Per quanto riguarda il bel problema di MaMo, mi pare che la serie dei 4/9 converga a 8/5 dell'area originale del triangolo, cioè (con LATO da un metro) a 1.6 * sqr(3)/4 = .693 m^2; ma con tutte quelle punte rischio di confondermi, pare una carta vetrata!
Tony
Eccomi con la soluzione, uguale a quella di tony, grazie MaMo che mi hai fatto riprendere in mano le successioni che avevo lasciato un po’ nel dimenticatoio.
L’area di un triangolo equilatero di lato 1 m è raqd(3)/4, che per comodità chiamiamo u (unità di area), quindi l’area del nostro triangolo equilatero è u.
Dopo il primo passaggio aggiungiamo 3 triangoletti con area 1/9 u; quindi l’area della stella a sei punte è
u+3*1/9u.
Al secondo passaggio aggiungo 12 triangoletti di area 1/9^2 u; come ho trovato che sono 12 i triangoletti aggiunti? Inizialmente ho 3 punte che si sono raddoppiate con il primo passaggio (3*2=6) e che si sono ulteriormente raddoppiate (6*2=12). L’area a questo punto è
u+3*1/9u+3*2*2*1/9^2u.
Al prossimo passaggio i triangolino da aggiungere sono 48 (=12*4) di area 1/9^3u e così via, quindi scritta con una sommatoria diviene (omettendo u)
La ragione q della sommatoria vale 4/9, quindi la sommatoria vale 1/(1-q) = 9/5
Quindi l’area è u + u*1/3*9/5 = u + u*3/5= 1.6u = 0.69 m ^2 ca.
Questo richiamo mi ha fatto venire in mente un problemino che però posto su un nuovo topic
WonderP.
P.S. vi piace la formula in trasparenza?
Modificato da - WonderP il 16/10/2003 17:20:04
L’area di un triangolo equilatero di lato 1 m è raqd(3)/4, che per comodità chiamiamo u (unità di area), quindi l’area del nostro triangolo equilatero è u.
Dopo il primo passaggio aggiungiamo 3 triangoletti con area 1/9 u; quindi l’area della stella a sei punte è
u+3*1/9u.
Al secondo passaggio aggiungo 12 triangoletti di area 1/9^2 u; come ho trovato che sono 12 i triangoletti aggiunti? Inizialmente ho 3 punte che si sono raddoppiate con il primo passaggio (3*2=6) e che si sono ulteriormente raddoppiate (6*2=12). L’area a questo punto è
u+3*1/9u+3*2*2*1/9^2u.
Al prossimo passaggio i triangolino da aggiungere sono 48 (=12*4) di area 1/9^3u e così via, quindi scritta con una sommatoria diviene (omettendo u)
La ragione q della sommatoria vale 4/9, quindi la sommatoria vale 1/(1-q) = 9/5
Quindi l’area è u + u*1/3*9/5 = u + u*3/5= 1.6u = 0.69 m ^2 ca.
Questo richiamo mi ha fatto venire in mente un problemino che però posto su un nuovo topic
WonderP.
P.S. vi piace la formula in trasparenza?
Modificato da - WonderP il 16/10/2003 17:20:04
Semplice, quando salvi in .gif puoi impostare un colore (con una tolleranza) come trasparente! Ad esempio in Pain Shop Pro quando fai salva con nome (in .gif) compare il pulsante opzioni e poi ottimizza, penso sia una cosa simile anche per gli altri programmi.
Il trasparente WonderP.
Il trasparente WonderP.
E con Paint come si può fare?
Modificato da - fireball il 16/10/2003 17:34:52
Modificato da - fireball il 16/10/2003 17:34:52
Con Paint non ci riesco, prova con qualche programma più sofisticato.
WonderP.
WonderP.
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