Base 16
Ciao a tutti, avrei bisogno di un chiarimento e ringrazio moltissimo anticipatamente chi me lo fornirà. Svolgendo un esercizio delle fasi provinciali delle olimpiadi, mi imbatto in
Qual'è il massimo numero naturale con lo stesso numero di cifre in base 10 e base 16?
a)1024 b)99999 c)999999 d)1600000
Le risposte sono in base decimale.
Dispongo della soluzione, ma non entra nel dettaglio e non capisco un passaggio:
La risposta è (B). Poiché un numero non può avere in base 16 più cifre che in base 10, il valore
cercato sarà della forma 999. . .9, dove il numero k dei 9 può crescere fino a quando, espresso in
base 16 il numero corrispondente viene ad avere meno di k cifre.
Poichè $16^2=256$, $16^3=4096$, $16^4=65536$, $16^5=1024^2<1000000$, si ha che $999999$ richiede solo 5 cifre in base 16 come 99999 che è quindi il numero cercato.
In particolare mi sfugge la prima parte, il perchè la forma deve essere $99...9$
Grazie molte a chi mi darà delucidazioni.
Saluti, Stefano.
Qual'è il massimo numero naturale con lo stesso numero di cifre in base 10 e base 16?
a)1024 b)99999 c)999999 d)1600000
Le risposte sono in base decimale.
Dispongo della soluzione, ma non entra nel dettaglio e non capisco un passaggio:
La risposta è (B). Poiché un numero non può avere in base 16 più cifre che in base 10, il valore
cercato sarà della forma 999. . .9, dove il numero k dei 9 può crescere fino a quando, espresso in
base 16 il numero corrispondente viene ad avere meno di k cifre.
Poichè $16^2=256$, $16^3=4096$, $16^4=65536$, $16^5=1024^2<1000000$, si ha che $999999$ richiede solo 5 cifre in base 16 come 99999 che è quindi il numero cercato.
In particolare mi sfugge la prima parte, il perchè la forma deve essere $99...9$
Grazie molte a chi mi darà delucidazioni.
Saluti, Stefano.
Risposte
Supponiamo che il numero naturale di $n$ cifre $999 \ldots 97$ abbia come corrispondente in base $16$ il numero $h_1$, anch'esso di $n$ cifre (quindi il numero $999 \ldots 97$ andrebbe bene).
Consideriamo il numero $999 \ldots 98$, anch'esso di $n$ cifre. Anche la sua rappresentazione in base $16$ deve avere $n$ cifre, non può averne meno di $h_1$, non può averne più della sua rappresentazione in base $10$ ($999 \ldots 98$ va bene, mentre $999 \ldots 97$ non va più bene perché è stato trovato un naturale maggiore).
Facendo lo stesso ragionamento con $999 \ldots 99$ si vede che anche la sua rappresentazione in base $16$ ha sempre $n$ cifre, e ovviamente $999 \ldots 99$ è più grande dei numeri considerati precedentemente.
Consideriamo il numero $999 \ldots 98$, anch'esso di $n$ cifre. Anche la sua rappresentazione in base $16$ deve avere $n$ cifre, non può averne meno di $h_1$, non può averne più della sua rappresentazione in base $10$ ($999 \ldots 98$ va bene, mentre $999 \ldots 97$ non va più bene perché è stato trovato un naturale maggiore).
Facendo lo stesso ragionamento con $999 \ldots 99$ si vede che anche la sua rappresentazione in base $16$ ha sempre $n$ cifre, e ovviamente $999 \ldots 99$ è più grande dei numeri considerati precedentemente.
"Tipper":
Consideriamo il numero $999 \ldots 98$, anch'esso di $n$ cifre. Anche la sua rappresentazione in base $16$ deve avere $n$ cifre, non può averne meno di $h_1$, non può averne più della sua rappresentazione in base $10$ ($999 \ldots 98$ va bene, mentre $999 \ldots 97$ non va più bene perché è stato trovato un naturale maggiore).
perchè anche $999 \ldots 98$ deve avere $n$ cifre in base $16$?
Siamo partiti supponendo che $999 \ldots 97$ abbia $n$ cifre in base $10$ e $n$ cifre in base $16$ (chiamiamo $h_1$ tale rappresentazione). Consideriamo ora il numero naturale $999 \ldots 98$ con $n$ cifre, dunque questo è il successivo del primo numero considerato, e sia $h_2$ la sua rappresentazione in base $16$. $h_2$ non può avere più cifre della sua rappresentazione in base $10$, pertanto il suo numero di cifre è $\le n$. Dato che $h_2 > h_1$, si deduce che $h_2$ non può avere meno cifre di $h_1$, pertanto $h_2$ deve avere almeno $n$ cifre, ovvero il numero di cifre deve essere $\ge n$. Ma se deve essere $\le n$, e allo stesso tempo $\ge n$, il numero $h_2$ non può che avere $n$ cifre.
grazie
Ok Tipper, ho capito, il resto è venuto da solo.
Ti ringrazio molto per la solita disponibilità, buon Ferragosto.
Ciao.
Ti ringrazio molto per la solita disponibilità, buon Ferragosto.
Ciao.
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