Banchetto

[axpgn]

Sessantacinque persone sono disposte attorno ad un tavolo per un grande banchetto.

a) È sempre vero che, qualsiasi sia la composizione e la disposizione degli ospiti, esista almeno una coppia di uomini seduti uno accanto all'altro o almeno una coppia di donne sedute una accanto all'altra?

b) È sempre vero che, qualsiasi sia la composizione e la disposizione degli ospiti, esista almeno una coppia di uomini seduti in modo tale che ci sia esattamente una persona tra loro o almeno una coppia di donne sedute in modo tale che ci sia esattamente una persona tra loro?

c) È sempre vero che, qualsiasi sia la composizione e la disposizione degli ospiti, esista almeno una coppia di uomini seduti in modo tale che ci siano esattamente due persone tra loro o almeno una coppia di donne sedute in modo tale che ci siano esattamente due persone tra loro?

d) Esiste qualche numero $k$ minore di $33$ tale per cui non si possa dire con certezza che esista almeno una coppia di uomini seduti in modo tale che ci siano esattamente $k$ persone tra loro o almeno una coppia di donne sedute in modo tale che ci siano esattamente $k$ persone tra loro?


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Prima di passare alla sistemazione circolare immaginiamo delle persone in una fila infinita.

Proposizione 1 (P1): esiste almeno una coppia di uomini seduti in modo tale che ci siano esattamente $n$ persone tra loro o almeno una coppia di donne sedute in modo tale che ci siano esattamente $n$ persone tra loro.
In modo piu' conciso P1 si puo' scrivere come: esistono 2 persone dello stesso sesso a distanza di $n+1$.

Per fare in modo che P1 NON sia vera devono esserci $n+1$ persone in qualsivoglia disposizione e quindi altre $n+1$ persone in cui i sessi sono invertiti rispetto alla sequenza precendente, disposizione che si ripete periodicamente.
Ad esempio per $n=4$ ci potranno essere 5 persone come S1: UDDUU (U: uomo, D: donna) e quindi S2: DUUDD.
La disposizione periodica sarebbe l'unione delle 2: ...,S1,S2,S1,S2... = ...UDDUUDUUDD...

Se ora vogliamo passare dalla sistemazione in una fila infinita a un cerchio composto da $m$ persone, questo si puo' fare se la sistemazione in fila e' periodica di periodo $m$.
Quindi $m = 2k(n+1)$ con $k \in NN$.
Da cui si deduce che $m$ deve essere pari.
Siccome 65 non e' pari si deduce che la risposta ai quesiti a, b, c e' affermativa.
La risposta alla d e': no, non esiste alcun $k$.

[axpgn]

Cordialmente, Alex