Autostrada

[axpgn]

Su un'autostrada deserta, la probabilità di vedere un'automobile in un periodo di trenta minuti è del $95%$
Qual è la probabilità di vedere un'automobile in un periodo di dieci minuti?


Cordialmente, Alex

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Premessa:
Modellizzo il problema con una distribuzione di Poisson, infatti ad esempio la distribuzione di Poisson può essere usata per modellizzare eventi come "numero di chiamate ad un call center in un lasso di tempo \(t\)", "numero di pazienti che arrivano in pronto soccorso in un lasso di tempo \(t\)". Quindi il numero di macchine che arrivano in questo particolare tratto di strada in \(10\) minuti è un evento che può essere modellizzato con la legge di Poisson.

Cerchiamoci i parametri:
Sia \(X\) la variabile aleatoria discreta, che segue una distribuzione di Poisson, che conta il numero di macchine che passano in \( 1 \) minuto. Ricordiamoci che
\[ P\left( X= k \right) = \frac{ \lambda^{k} e^{-\lambda} }{k!} \]
dove \( \lambda \in (0,\infty) \) è il parametro della distribuzione di Poisson, i.e. il valore atteso.
Calcoliamoci il \( \lambda_{30} \) associato ad un intervallo di tempo di 30 minuti. Abbiamo infatti che \( \lambda_{t} = m t \), dove \( m\) numero di macchine che transitano in 1 minuti (in media) e \(t \) è l'intervallo di tempo considerato.

\[ P\left( k \text{ macchine passano in } t \text{ minuti } \right) = \frac{ \lambda_t^{k} e^{-\lambda_t} }{k!} \]
Pertanto
\[ P\left( 0 \text{ macchine passano in } 30 \text{ minuti } \right) = e^{-\lambda_{30}} = 0.05 \]
Pertanto otteniamo che \( e^{\lambda_{30}} = 20 \Leftrightarrow \lambda_{30} \approx 2.996 \).
Quindi abbiamo che in media passano \( m = \frac{2.996}{30} \) macchine al minuto su questa autostrada. Considerando dunque \(t=10\) minuti abbiamo che il suo \( \lambda_{10} \) associato è:
\[ \lambda_{10} = \frac{2.996}{30} \cdot 10 \approx 1 \]
Dunque
\[ P\left( 0 \text{ macchine passano in } 10 \text{ minuti } \right) = e^{-\lambda_{10}} \approx e^{-1} \]
Da cui
\[ P \left( \text{ vediamo almeno una macchina in } 10 \text{ minuti} \right) = 1 -e^{-1} \approx 0.632 \]
Se vuoi invece
\[ P\left( 1 \text{ macchina passa in } 10 \text{ minuti } \right) = \frac{ \lambda_{10}^{1} e^{-\lambda_{10}} }{1!} \approx e^{-1} \]

[gabriella127]

Stessa soluzione di 3m0o, ma senza necessità di laurea in matematica (questa volta non dottorato, come nel caso dei detenuti, visto che la distribuzione di Poisson è alla portata di uno studente....).

Considero la probabilità di non vedere alcuna macchina in 30 minuti, cioè il $5%$.

Tale probabilità è data dalla probabilità di non vedere alcuna macchina nei primi dieci minuti, e non vedere alcuna macchina nei secondi 10 minuti e non vedere alcuna macchina nei terzi 10 minuti. Queste tre probabilità sono uguali tra loro, e sono la probabilità di non vedere una macchina in 10 minuti. La chiamiamo $p$. La probabilità di non vedere nessuna macchina in 30 minuti è quindi:

$p^3$, che deve essere uguale al $5%$. Cioè:

$p^3=5/100 rightarrow p = 1/(2,714)=0,368$. (all'incirca)

Dunque la probabilità di vedere una macchina in $10$ minuti è $1-0,368=0,632$

[lino.lino1]

91,66%

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

lino.lino qual è stato il tuo ragionamento ?

[axpgn]

@3m0o e @gabriella127
Bravi!

Non conosco il signor Poisson, ne ho sentito parlare spesso ma non ci hanno mai presentati
Qiindi ho risolto esattamente come Gabriella

Cordialmente, Alex

[gabriella127]

"axpgn":

Non conosco il signor Poisson, ne ho sentito parlare spesso ma non ci hanno mai presentati

Comment! Tu ne connais pas la célèbre distribution de probabilité Soupe de Poisson?

[axpgn]

@garbriella127
[ot]Non so il francese ... e le zuppe non mi piacciono granché
Comunque quando sento "Poisson" mi torna subito alla mente Kevin Kline in French Kiss [/ot]

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

[ot]Io il francese lo so, ma nemmeno a me fanno impazzire le zuppe di pesce [/ot]

[gabriella127]

[/ot]

"3m0o":[ot]Io il francese lo so, ma nemmeno a me fanno impazzire le zuppe di pesce [/ot]

[ot]Neanche a me .
Lo avevo capito che la tua altra lingua è il francese.[/ot]

[gabriella127]

"axpgn":@gabriella127
[ot]quando sento "Poisson" mi torna subito alla mente Kevin Kline in French Kiss [/ot]

[ot]Non l'ho visto , mi hai fatto incuriosire, con 'sto Poisson nel film, lo guarderò[/ot]

[axpgn]

@gabriella127
[ot]Premesso che "poissons" in quel film è solo una particella infinitesimale che si nota a fatica (e che probabilmente è rimasta impressa solo a me ), ti devo avvertire, per evitarti eventuali traumi, che è una commedia romantica quindi o la ami o la odi
Peraltro la amano in tanti visto che è diventata una pellicola "cult" (come si dice ora) , in particolare i fan di Meg Ryan e Kevin Kline.[/ot]


Cordialmente, Alex

[gabriella127]

@axpgn
[ot]La vedo volentieri, no problem, commedia romantica va benissimo, grazie di avermela segnalata, almeno sarà una commedia fatta bene. Tanto da quando ci sta 'sto lockdown mi sono sciroppata di tutto, film e serie tv che non avrei mai visto in vita mia, ho toccato il fondo con 'Elisa di Rivombrosa.'... Non sono mai stata una appassionata e non le vedevo mai, ma ora ne sono impregnata fino al collo...[/ot]