Asteroide

[axpgn]

Sullo stesso libro da cui avevo preso questo quesito, c'era quest'altro ma irrisolto:

The Smallest Escape Asteroid
A problem which was solved in the American Mathematical Monthly was to determine the largest asteroid that one could jump "clear" off (escape).
A more interesting and more difficult problem would be to determine the smallest asteroid that one could jump "clear" off.
The difficulty arises in the reaction of the asteroid.
For a large one the reaction is negligible. But this is not true for a small one.

Ho ritrovato il problema originario (risolto) che dice quanto segue:

Jumping Off an Asteroid
How large an asteroid could a man jump clear off of?


Cordialmente, Alex

[mgrau]

Se ho capito bene, si chiede il più piccolo asteroide da cui un uomo può separarsi definitivamente con un salto?
Se è così, non vedo perchè debba esserci un limite inferiore. Se l'uomo nello spazio ha in mano una mela, e la lancia via da sè, mi pare che la mela se ne vada per sempre... Mi sfugge qualcosa? Ho tradotto male jump clear off?

[axpgn]

Premesso che quel problema è irrisolto e quindi io mi aspetto solo la risoluzione del secondo ( ), presumo che nessuno (almeno a quel tempo, decenni fa, e peraltro non credo che sia un quesito che abbia tenuto svegli la notte migliaia di fisici ) sia riuscito a dimostrare né una cosa né l'altra ovvero che il limite inferiore esista.
Posso supporre che la difficoltà (una almeno ) stia nel fatto che, per esempio, la mela che lanci ti ritorni addosso, più o meno velocemente, come legata ad un elastico
Nella mia ignoranza, presumo che quando si parli di "velocità di fuga", si intenda una velocità che ti porti ad una traiettoria, tipo iperbole tanto per esemplificare, che non torni al punto di partenza, che non sia chiusa insomma; probabilmente nel caso della mela non è così facile tenere conto della "reazione" della mela


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Onestamente anche io ho qualche difficolta' a capire il problema.

La velocita' di fuga di un oggetto e' data da:
${G m_1 m_2} /r = 1/2 m v^2$,

dove a sinistra dell'uguale c'e l'energia necessaria a raggiungere l'ininito, a destra c'e' l'energia cinetica dell'oggetto.

da cui $v = \sqrt({2 G m_1 } /r)$.

Come si vede, la massa dell'oggetto non influisce sulla velocita' di fuga.

[axpgn]

Sostanzialmente si chiede (nel secondo) : al massimo, quanto può essere grande un asteroide affinché un uomo possa "saltar giu"?
In pratica nella soluzione si determina il raggio dell'asteroide in funzione dell'altezza del salto (per altezza del salto si intende il dislivello del baricentro umano - un dislivello di un metro significa essere un buon saltatore in alto)

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Un saltatore medio riesce ad alzare il suo baricentro di $0.5\ m$ circa, quindi con un'energia di $gh = 5 J$ per ogni $kg$ di peso del saltatore.

$(G m_1 m_2) / r$ e' l'energia che serve per non tornare piu' indietro.

Quindi $(G m_1 m_2) / r = m_2\ 5\ J$

Si puo' eliminare $m_2$ e si puo' esprimere il peso dell'asteroide in funzioni di raggio e densita'.

$(G \rho 4/3 \pi r^3 ) / r = 5 J$

$G \rho r^2 = 1.19 J$

$G= 6.67\ \times 10^{-11}$

e $\rho = 4000 {kg}/ m^3$ valore approssimativo di un satellite di roccia.

Se ho fatto bene i conti viene un asteroide di poco piu' di $4\ km$ di diametro.

[axpgn]

Per me è sì

Ecco la soluzione originale ...

Using the subscript [size=150]$e$[/size] to refer to earth magnitudes, the acceleration due to gravity at the surfarce of any spherical asteroid of radius $R$ and mass $M$ would be [size=150]$g=(g_eMR_e^(2))/(M_eR^2)$[/size]

To jump a vertical height $h$ on the earth's surface a man must acquire a velocity [size=150]$v_e=(2g_eh)^(1/2)$[/size]

We equate this velocity to the velocity of escape from asteroid, [size=150]$v=(2gR)^(1/2)$[/size]

and then

[size=150]$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2g_eh=(2g_eMR_e^2)/(M_eR)=(2g_eCR^2)/(C_eR_e)$[/size]

or simplify

[size=150]$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R^2=C_e/CR_eh$[/size]

where $C$ and $C_e$ are the specific densities of the asteroid and the earth respectively.

Supponendo che le densità siano simili e $h=1/2$ otteniamo $R=1785$.

[ot]Un buon saltatore attuale alza il suo baricentro di almeno tre piedi (il baricentro di un uomo alto più di 1,90 si trova all'incirca sul metro e venti e scavalca sicuramente i due metri).[/ot]

Bonus

A solver considered also the interesting possibility where the man jumps horizontally, that is, tangentially.
The man could then continue to move around the asteroid, like a satellite, just above its surface, and he could be said to have jumped "clear" of the asteroid.
In this case one finds ..... ?

[Quinzio]

"axpgn":

A solver considered also the interesting possibility where the man jumps horizontally, that is, tangentially.
The man could then continue to move around the asteroid, like a satellite, just above its surface, and he could be said to have jumped "clear" of the asteroid.
In this case one finds ..... ?

La risposta dovrebbe essere che l'uomo deve correre a una velcoita' pari alla velocita' di fuga.

[axpgn]

No, perché in tal caso si perderebbe nello spazio
Basta meno quindi un asteroide più grande; ma quanto più grande?