Area di un triangolo note le aree di suoi sotto-triangoli
Ciao,
ho da porvi un giochetto matematico che non riesco a risolvere.
Sottolineo che il triangolo non ha alcuna proprietà aggiuntiva e che il punto $E$ è scelto totalmente a caso.
Ho pensato a esprimere le aree dei tre triangoli e di $ABC$ con la formula che permette di calcolarle a partire dai lati.
Ho pensato a esprimere le stesse aree come prodotto di due lati e del seno dell'angolo compreso, il tutto diviso due.
Ho pensato di appiccicare un altro triangolo rovesciato sotto, uguale ad $ABC$ così da formare un parallelogramma.
Qualsiasi idea porta comunque a sistemi di 5-6 equazioni, non lineari, con una gran quantità di incognite... Eppure dovrebbe esserci un trucchetto per una soluzione veloce.
Idee?
ho da porvi un giochetto matematico che non riesco a risolvere.
Considerate un qualsiasi triangolo scaleno $ABC$:
Prendete un punto $E$ a caso al suo interno e tracciate i due segmenti che lo incrociano che vedete in immagine, e che si dipartono da $A$ e $B$ così da ottenere i punti $D$ ed $F$.
Conoscete solo il valore delle aree colorate $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$.
Qual è l'area del triangolo $ABC$?
Sottolineo che il triangolo non ha alcuna proprietà aggiuntiva e che il punto $E$ è scelto totalmente a caso.
Ho pensato a esprimere le aree dei tre triangoli e di $ABC$ con la formula che permette di calcolarle a partire dai lati.
Ho pensato a esprimere le stesse aree come prodotto di due lati e del seno dell'angolo compreso, il tutto diviso due.
Ho pensato di appiccicare un altro triangolo rovesciato sotto, uguale ad $ABC$ così da formare un parallelogramma.
Qualsiasi idea porta comunque a sistemi di 5-6 equazioni, non lineari, con una gran quantità di incognite... Eppure dovrebbe esserci un trucchetto per una soluzione veloce.
Idee?
Risposte
Ma conosci le lunghezze dei lati? Non mi è chiaro quali sono esattamente i dati conosciuti in partenza.
"axpgn":
Ma conosci le lunghezze dei lati? Non mi è chiaro quali sono esattamente i dati conosciuti in partenza.
No, non le conosci, altrimenti la soluzione è una sola formula.
Sono note solo le aree dei triangoli colorati.
Hai scritto
quindi sembrava che i lati li conoscessi.
Potresti riassumere quali sono tutti i dati che conosci in ipotesi?
"amivaleo":
Ho pensato a esprimere le aree dei tre triangoli e di $ABC$ con la formula che permette di calcolarle a partire dai lati.
quindi sembrava che i lati li conoscessi.
Potresti riassumere quali sono tutti i dati che conosci in ipotesi?
Nuovamente, solo le tre aree colorate sono note.
I miei approcci per risolverlo tirano in mezzo lati e angoli, che non sono noti, con l'idea che questi soddisfano altre relazioni (gli angoli del triangolo $ABC$ sommano a 180°, la somma di due suoi lati è maggiore uguale al terzo lato, etc).
È brain storming sostanzialmente, per approcciare il problema.
I miei approcci per risolverlo tirano in mezzo lati e angoli, che non sono noti, con l'idea che questi soddisfano altre relazioni (gli angoli del triangolo $ABC$ sommano a 180°, la somma di due suoi lati è maggiore uguale al terzo lato, etc).
È brain storming sostanzialmente, per approcciare il problema.
Se sono note solo le tre aree, a mio parere i dati sono insufficienti per determinare l'area del triangolo grande.
Ho preso un triangolo, ho scelto due punti a caso: i tre triangoli hanno aree diverse, le loro somme sono diverse, le proporzioni tra loro sono diverse, non vedo come possa esserci una soluzione univoca.
IMHO
Ho preso un triangolo, ho scelto due punti a caso: i tre triangoli hanno aree diverse, le loro somme sono diverse, le proporzioni tra loro sono diverse, non vedo come possa esserci una soluzione univoca.
IMHO
Perché "DUE punti a caso"? Solo $E$ è il punto preso a caso.
Questo è il testo originale, proposto da un collega:
Un altro mio collega ha tentato la forza bruta con geometria analitica (ha dato coordinate a ogni punto e ha cercato di ricostruire le equazioni delle rette su cui giacciono i vari lati e segmenti, etc) che sembra portare al risultato. È davvero una robaccia però. Sebbene è vero che spiega il perché il testo originale dica di armarsi di pazienza.
Questo è il testo originale, proposto da un collega:
Un altro mio collega ha tentato la forza bruta con geometria analitica (ha dato coordinate a ogni punto e ha cercato di ricostruire le equazioni delle rette su cui giacciono i vari lati e segmenti, etc) che sembra portare al risultato. È davvero una robaccia però. Sebbene è vero che spiega il perché il testo originale dica di armarsi di pazienza.
Con "Due punti a caso" intendevo "Due punti $E$ a caso" ovvero due scelte diverse del punto $E$ 
Puoi scrivere il testo? Perché vedo solo metà immagine, inoltre le foto prima o poi spariscono dal web e non si capisce più niente
In effetti, per dimostrare l'impossibilità dovrei fare il contrario di quello che ho fatto ovvero tenute fisse le aree, trovare un triangolo grande differente ...
Puoi scrivere il testo? Perché vedo solo metà immagine, inoltre le foto prima o poi spariscono dal web e non si capisce più niente
In effetti, per dimostrare l'impossibilità dovrei fare il contrario di quello che ho fatto ovvero tenute fisse le aree, trovare un triangolo grande differente ...
Tra l'altro c'è stato qui nel Forum un problema simile ma sono abbastanza sicuro che allora ci fosse qualche dato o qualche ipotesi aggiuntiva ... 
Questo il testo:
Sono incappato io stesso in qualche giochetto simile, risolto costruendo un parallelogramma ottenuto accostando un altro triangolo $ABC$ a quello nell'immagine. Ci ho provato, ma finisco in un vicolo cieco.
Alle volte sembra di non avere tutte le informazioni, e invece... è il caso del prossimo problema in cui con un po' di pazienza e utilizzando un'equazione con 2 incognite si arriva alla soluzione. Considerate il triangolo $ABC$ in figura e scegliete un punto $E$ al suo interno. Adesso tracciate i due segmenti $AF$ e $BD$ passanti per $E$. Se le aree dei triangoli $AEB$, $EBF$, $AED$ sono rispettivamente $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$, quant'è l'area del triangolo $ABC$?
Sono incappato io stesso in qualche giochetto simile, risolto costruendo un parallelogramma ottenuto accostando un altro triangolo $ABC$ a quello nell'immagine. Ci ho provato, ma finisco in un vicolo cieco.
Credo di essere riuscito a dimostrare il contrario di quanto ho scritto prima ovvero che date le tre aree relative a tre triangoli costruiti in quel modo, il triangolo grande è unico e quindi il problema è risolvibile.
Come è un altro paio di maniche
Dato un triangolo con area $alpha$ e base fissata, il vertice opposto alla base è libero di muoversi su una parallela alla base; se ora prolungo uno dei lati obliqui, questi affinché l'area $beta$ resta fissa dovrà incontrare il lato del triangolo grande su una parallela dell'altro lato obliquo e viceversa.
Quindi le intersezioni sono obbligate.
Come è un altro paio di maniche
Dato un triangolo con area $alpha$ e base fissata, il vertice opposto alla base è libero di muoversi su una parallela alla base; se ora prolungo uno dei lati obliqui, questi affinché l'area $beta$ resta fissa dovrà incontrare il lato del triangolo grande su una parallela dell'altro lato obliquo e viceversa.
Quindi le intersezioni sono obbligate.
Approccio analitico anche il tuo vedo.
Sembra l'unica strada anche per la risoluzione del problema.
Sembra l'unica strada anche per la risoluzione del problema.
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@sellacollesella
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
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"sellacollesella":
Geometria sintetica + algebra
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