Area del rettangolo circoscritto ad un ellisse

[curie88]

Buona sera a tutti, se volete dilettarvi con un piccolo passatempo:

Sia data un ellisse, con centro nell-origine $O$, di semi assi, $a=3$(su asse $x$), e $b=2$(su asse $y$), non traslata e non ruotata.

Si prenda un punto $P$ su di essa, tracciando il polo $OP$, e l-angolo tra questo segmento e l-asse $x$.

Si prenda un punto $P$ su di essa, tracciando il segmento polare $OP$, e l-angolo tra la retta radiale e l-asse $x$.
Infine si costruiscano le tangenti, quella per $P$ e le altre $3$ tutte ortogonali tra loro.
Qual è l-area del rettangolo circoscritto, così ottenuto, se l-angolo sotteso retta polare, deve essere di $17°$(si consideri il valore con 3 cifre dopo la virgola)

Sperando che vi aggrada, e soprattutto che sia chiaro.
Gradirei una vostra risposta, anche descrittiva, per confronto. Grazie per le eventuali risposte.

[orsoulx]

Il risultato è:

25.753 arrotondato per eccesso da 25.75292....

Guarda che se Erasmus ti legge e decide di correggere le tue imprecisioni, rischi di sorbirti un'invettiva a puntate.
Mi limito a segnalarti l'uso disinvolto dei termini polo e polare: polo (di qualcosa rispetto a qualcos'altro) dovrebbe essere un punto.
Ciao

[curie88]

Hai perfettamente ragione, mi sembrava di ricordare che anch-esso fosse definito così...che poi perché mai avrebbero dovuto definire due cose ben distinte con lo stesso nome?
Siccome non trovo il suo nome lo definisco segmento polare(il segmento OP) distinto dal polo O.

[orsoulx]

"curie88":Siccome non trovo il suo nome lo definisco segmento polare(il segmento OP) distinto dal polo O.

O è, semplicemente, il centro dell'ellisse. Bisogna essere un po' masochisti per definirlo polo di...
P un punto dell'ellisse tale che OP sia inclinato di 17° rispetto all'asse maggiore dell'ellisse. Non serve altro (le auto simmetrie dell'ellisse permettono quattro posizioni di P, con rettangoli circoscritti congruenti).
Ciao

[curie88]

"orsoulx":[quote="curie88"]Siccome non trovo il suo nome lo definisco segmento polare(il segmento OP) distinto dal polo O.

O è, semplicemente, il centro dell'ellisse. Bisogna essere un po' masochisti per definirlo polo di...
P un punto dell'ellisse tale che OP sia inclinato di 17° rispetto all'asse maggiore dell'ellisse. Non serve altro (le auto simmetrie dell'ellisse permettono quattro posizioni di P, con rettangoli circoscritti congruenti).
Ciao[/quote]

Per quanto riguarda il centro O, non capisco il masochismo, visto che ho chiesto l-angolo tra la retta radiale e l-asse x,
non ho specificato la sua direzione dal centro O semplicemente perché O l-ho definito polo, ed in genere in coordinate polari,
l-angolo è sempre quello in senso antiorario, che poi il punto P è simmetrico rispetto ad esso è abbastanza palese;anche perché, il mio(non il vostro) intento primario,non specificato, era di trovare,
l-equazione polare.

Non trovo alcuna tua descrizione del metodo, da te adottato, per la risoluzione dell-esercizio.

[orsoulx]

@curie88:
devi scusarmi, ma, visto che parlavi di asse x e asse y, non avevo capito che pensassi in termini di coordinate polari.
Questo fraintendimento mi ha portato ad attribuire a 'polo' il significato della geometria proiettiva (polo di una retta rispetto ad una conica).

Ho trovato il risultato usando le coordinate ortogonali e, in particolare, la circonferenza luogo dei punti che 'vedono' un'ellisse sotto un angolo retto. Non credo sia troppo dispendioso chiederti se, intanto, concordiamo su risultato numerico.

Una curiosità: l'i-Pad non scrive l'apostrofo?
Ciao

[teorema55]

A me risulta 26,08

Segue dimostrazione.............forse.

[orsoulx]

"teorema55":Segue dimostrazione.............forse.

Penso di no.
Visto che l'area $ A $ di un rettangolo circoscritto ad un'ellisse (nel senso che i quattro lati sono tangenti alla conica) di semiassi $a $ e $b$ vale:
al minimo $ 4ab $ quando i lati sono paralleli agli assi dell'ellesse;
al massimo $ 2(a^2+b^2) $ quando il rettangolo diventa un quadrato.
Nel nostro caso $ a=3; b=2 $, quindi $ 24 <=A<=26 $.
Ciao

[orsoulx]

@curie88:
ho provato a risolvere il problema usando la coordinate polari, ma mi perdo per strada.
Usando, invece, le coordinate ortogonali si giunge, dopo un po di giri, a questa espressione per l'area che cerchi:

$ A=4ab sqrt((a^6tan^2 \phi+b^6)(a^2tan^2 \phi+b^2))/(a^4tan^2 \phi+b^4) $.

Risultato che non può cambiare utilizzando le coordinate polari.
Ciao

[curie88]

Ciao orsoulx, scusa se sono di poche parole ma il tablet non mi permette...
Nella formula da te usata l-angolo qual è? Ho provato 2 conti ma non mi torna il tuo risultato.
Non ne esco, non riesco a trovare la relazione che lega la_angolo t a k, dove k è la_angolo tra la retta polare e l-asse x.

[orsoulx]

La formula che ho postato dovrebbe risolvere il seguente problema.
Dato un'ellisse di semiasse maggiore $ a $ e semiasse minore $ b $, calcolare l'area del rettangolo ad essa circoscritto sapendo che la congiungente il centro dell'ellisse con uno (qualsiasi) dei punti di tangenza forma un angolo $ \phi $ con l'asse focale della conica.
Quindi l'angolo può essere il medesimo di quello che compare nella formulazione originale del problema; in realtà di angoli che portano a rettangoli congruenti ve ne sono, in generale, otto. Con $ a=3; b=2; \phi=17° $, la mia calcolatrice spiattella $ A=25.752920178467...$

"curie88":Ho provato 2 conti ma non mi torna il tuo risultato.

Se non dici cos'è che non torna, posso solo affermare che almeno uno dei due risultati diversi è sbagliato.
Ciao

[curie88]

Ciao orsoulx, ho passato i parametri a wolfram, non mi va di fare i conti, però penso che tu abbia trascritto male la formula, se non erro non è bilanciata, non torna la misura di un area.

[orsoulx]

"curie88":però penso che tu abbia trascritto male la formula

Se qualcuno ha trascritto male la formula quello non sono io.
Mi sto stancando delle tue segnalazioni del tutto generiche. Quindi, se vuoi continuare la conversazione, vedi di fare almeno lo sforzo di indicare dove vedi lo 'sbilanciamento'.
Quanto a Wolfram, basta leggere la mia firma.
Ciao

[curie88]

Non volevo assolutamente sostenere con fermezza che tu avessi sbagliato a trascrivere la formula, citandoti, e solo cosi ho potuto capire che l-incomprensione è dovuta alla mancanza di parentesi, che "dimentica", apre ma non chiude, il sito di matematicamente. Il risultato torna anche con wolfram, ti ringrazio molto per la collaborazione. Ciao.

[curie88]

Ciao a tutti, ho provato a procedere in questo modo:
Date le intercette $q_0$ e $q_1$ sulla asse y, trovo che l-area del rettangolo circoscritto all-ellisse, è:

$A = 2*q_0*\cos(\phi)*q_1*sin(\phi)+2q_1*\cos(\phi)*q_0*\sin(\pi)=4q_0*q_1*\cos(\phi)*\sin(\phi)$

Dove mi risultano:
$q_0 = sqrt(a^2tan(\phi)^2+b^2)$
$q_1 = sqrt(b^2tan(\phi)^2+a^2)/tan(\phi)$

Sostituendo si trova:
$A=4cos(\phi)^2*sqrt(a^2\tan(\phi)^2+b^2)sqrt(b^2\tan(\phi)^2+a^2)$

Con $\phi = \arctan{a/b-\tan{t}}$

$A = 25.9405...$

orsoulx, valore che si di scosta poco dal tuo ma è pur sempre diverso...

[axpgn]

Siccome mi avete fatto venir voglia di verificare (ma in realtà per vedere se ero capace di farlo ... ), ci ho provato anch'io ... non a trovare formule ma solo a far conti ... a me viene ...

$\ \ \ \ 25.753$ ... arrotondato per eccesso ...

Cordialmente, Alex

[curie88]

Grazie @ Alex per essere intervenuto, ho sicuramente fatto un errore, di cui mi son già accorto, comunque non potreste spiegare il metodo risolutivo a cui siete giunti?

[orsoulx]

Abbiamo , in coordinate ortogonali:

equazione ellisse $ x^2/a^2+y^2/b^2=1 $
punto sulla conica $ P(acos\alpha; b \sin alpha) $
tangente in P (metodo dello sdoppiamento) $ cos \alpha / a x+\sin \alpha /b y=1 $
metà lato del rettangolo uguale alla distanza dell'origine da tale retta $ (ab)/sqrt(b^2 cos^2 \alpha+a^2 \sin^2 \alpha) $
metà dell'altro lato (ricavata usando il T. di Pitagora, sapendo che il luogo dei punti che vedono un'ellisse sotto un angolo retto è la circoferenza di centro il centro dell'ellisse e raggio $ sqrt(a^2+b^2) $)
$ sqrt(a^2+b^2-(a^2b^2)/(b^2 cos^2 \alpha+a^2 \sin^2 \alpha))=sqrt((b^4cos^2 \alpha+a^4 \sin^2 \alpha)/(b^2 cos^2 \alpha+a^2 \sin^2 \alpha) $
area rettangolo $ 4ab sqrt(b^4cos^2 \alpha+a^4 \sin^2 \alpha)/(b^2 cos^2 \alpha+a^2 \sin^2 \alpha) $
relazione fra il parametro $ \alpha $ e l'angolo $ \phi $ fra $ OP $ e l'asse focale $ \tan \phi = (b \sin \alpha)/(a cos \alpha)=b/a tan \alpha rightarrow tan \alpha=a/b tan \phi $
acconcia sostituzione.

Ciao

[axpgn]

Io, invece, mi sono messo a fare i conticini, scolasticamente ...

Equazione dell'ellisse
Tangente di $17°$ per l'equazione della retta secante
Sistema per determinare punto $P$
Calcolo della derivata dell'ellisse (o meglio della porzione nel primo quadrante)
Determinazione della pendenza della retta tangente nel punto $P$
Determinazione dell'intercetta della retta tangente nel punto $P$
Trovato coefficiente angolare retta perpendicolare alla tangente nel punto $P$
Trovato punto di tangenza di quest'ultima retta con l'ellisse
Determinazione dell'intercetta di questa retta tangente
Punti di intersezione tra le rette per trovare vertici rettangolo
Calcolo distanza tra i vertici
Calcolo area

Cordialmente, Alex

[curie88]

Grazie mille, ad entrambi.
@Alex ho proceduto in parte come te, solo che non mi andava di fare troppi calcoli e preferivo trovare una strada semplice
Se si applicano alla formula che ho scritto sopra angoli di $0°$ e $pi/4$ per l-angolo $\phi$, di inclinazione in senso orario della diagonale su cui giace l-asse $b$, cioè rispetto all-asse y, si ottengono rispettivamente
I valori di $24$ e $26$, come ci si aspetta...tuttavia non mi è ancora del tutto chiaro, se essa funziona bene solo per questi due angoli o sempre, se gli viene passato l-angolo $\phi$ opportuno,
Infatti la formula per il calcolo dell-angolo $\phi$ che ho postato non è sicuramente corretta, se gli si assegna, per esempio il valore zero, appare evidente.
@orsoulx, per quanto riguarda la tua spiegazione, ho una domanda forse banale, da farti: come si dimostra che il punto medio del lato dista esattamente dal centro O quanto dista la retta del lato da O?
Il segmento OM, con M punto medio lato, è necessariamente ortogonale alla retta?
Grazie. Saluti.

[orsoulx]

"curie88": per quanto riguarda la tua spiegazione, ho una domanda

Dato un rettangolo qualsiasi, se conduci dal suo centro le parallele (o le perpendicolari) ai lati, che figura trovi?
Ciao