Area del rettangolo circoscritto ad un ellisse
Buona sera a tutti, se volete dilettarvi con un piccolo passatempo:
Sia data un ellisse, con centro nell-origine $O$, di semi assi, $a=3$(su asse $x$), e $b=2$(su asse $y$), non traslata e non ruotata.
Si prenda un punto $P$ su di essa, tracciando il segmento polare $OP$, e l-angolo tra la retta radiale e l-asse $x$.
Infine si costruiscano le tangenti, quella per $P$ e le altre $3$ tutte ortogonali tra loro.
Qual è l-area del rettangolo circoscritto, così ottenuto, se l-angolo sotteso retta polare, deve essere di $17°$(si consideri il valore con 3 cifre dopo la virgola)
Sperando che vi aggrada, e soprattutto che sia chiaro.
Gradirei una vostra risposta, anche descrittiva, per confronto. Grazie per le eventuali risposte.
Sia data un ellisse, con centro nell-origine $O$, di semi assi, $a=3$(su asse $x$), e $b=2$(su asse $y$), non traslata e non ruotata.
Si prenda un punto $P$ su di essa, tracciando il segmento polare $OP$, e l-angolo tra la retta radiale e l-asse $x$.
Infine si costruiscano le tangenti, quella per $P$ e le altre $3$ tutte ortogonali tra loro.
Qual è l-area del rettangolo circoscritto, così ottenuto, se l-angolo sotteso retta polare, deve essere di $17°$(si consideri il valore con 3 cifre dopo la virgola)
Sperando che vi aggrada, e soprattutto che sia chiaro.
Gradirei una vostra risposta, anche descrittiva, per confronto. Grazie per le eventuali risposte.
Risposte
In effetti...è molto più semplice di quello che mi aspettavo, non ero convinto, una cosa così ovvia...
Ci ragiono ancora un attimo su come hai trovato l-angolo' poiché ancora non mi è chiaro...saluti
Ci ragiono ancora un attimo su come hai trovato l-angolo' poiché ancora non mi è chiaro...saluti
OK, qui ci sono...quindi la formula devo sistemarla...
Ciao @orsoulx, sono stato impegnato da non poter dedicarmi molto alla tua risposta; noto ora che un llato, quello che calcoli con la formula distanza-retta-punto.coincide con
la misura del segmento polare che descrive l-ellisse, questo potrebbe anche essere ma non avendo ben chiaro cosa è $\alpha$, fatico appunto a comprendere la soluzione.
Tanto per farmi capire ti spiego come ho impostato io il problema così, potresti intervenire, se ti va naturalmente, a correggerne gli errori.
Ho scelto $t$ come angolo, tra la retta polare e l-asse focale, cioè l-asse x, ho posto il semi asse a su x ed il semiasse b su y.
Le intercette del rettangolo, intercettano l-asse y in due punti, $q_0$ in alto e $q_1$ in basso.
Tracciando la retta perpendicolare di un lato, e passante per O, si ottiene il segmento OH, che calcolo come:
$OH=q_0*cos(\phi)$
Dove $\phi$ è l-angolo tra il segmento OH e l-asse y, che varia con $t$
Questo angolo ho provato a calcolarlo in vari modi, l-ultimo che mi pare più razionale è dato dall-equazione:
tan(\phi)=(x-c)/y = (a*cost-c)/(b*sint)
dove essendo $c=\sqrt(a^2-b^2)$, riscrivo...
Se non si mette in dubbio che H=M, ovvero che il punto medio del lato coincida con il piede dell-altezza, allora si
puo considerare il lato intero come doppio di OM come d-altra parte tu hai fatto ed anche io...nonostante...
L-altro semi-lato, quello sulla tangente passante per P che chiamo AH lo calcolo come $q_1*sin(\phi)$, e credo che qui potrebbe esserci l-errore.
Infatti ho fatto questo ribaltanto $q_1$, intercetta inferiore e congiungendola con K, punto del rettangolo superiore, sul lato sinistro, ma dato che sono paralleli...
Quindi trovo l-area come $4q_0*q_1cos(\phi)sin(phi)$...
Se immetto il valore di $t=17pi/180$, i calcoli non tornano il valore atteso, ovvero calcolato da te ed axpgn;
ottengo un valore piuttosto distante $24,...$; nonostante con diverse riprove la formula restituisca valori sempre compresi tra 24 e 26.
Il valore $24$ lo ottengo come limite di $t-> 0$ poiché in $t=0$ il valore di $\phi$ non è definito, e qui...
Grazie per un eventuale aiuto. saluti.
la misura del segmento polare che descrive l-ellisse, questo potrebbe anche essere ma non avendo ben chiaro cosa è $\alpha$, fatico appunto a comprendere la soluzione.
Tanto per farmi capire ti spiego come ho impostato io il problema così, potresti intervenire, se ti va naturalmente, a correggerne gli errori.
Ho scelto $t$ come angolo, tra la retta polare e l-asse focale, cioè l-asse x, ho posto il semi asse a su x ed il semiasse b su y.
Le intercette del rettangolo, intercettano l-asse y in due punti, $q_0$ in alto e $q_1$ in basso.
Tracciando la retta perpendicolare di un lato, e passante per O, si ottiene il segmento OH, che calcolo come:
$OH=q_0*cos(\phi)$
Dove $\phi$ è l-angolo tra il segmento OH e l-asse y, che varia con $t$
Questo angolo ho provato a calcolarlo in vari modi, l-ultimo che mi pare più razionale è dato dall-equazione:
tan(\phi)=(x-c)/y = (a*cost-c)/(b*sint)
dove essendo $c=\sqrt(a^2-b^2)$, riscrivo...
Se non si mette in dubbio che H=M, ovvero che il punto medio del lato coincida con il piede dell-altezza, allora si
puo considerare il lato intero come doppio di OM come d-altra parte tu hai fatto ed anche io...nonostante...
L-altro semi-lato, quello sulla tangente passante per P che chiamo AH lo calcolo come $q_1*sin(\phi)$, e credo che qui potrebbe esserci l-errore.
Infatti ho fatto questo ribaltanto $q_1$, intercetta inferiore e congiungendola con K, punto del rettangolo superiore, sul lato sinistro, ma dato che sono paralleli...
Quindi trovo l-area come $4q_0*q_1cos(\phi)sin(phi)$...
Se immetto il valore di $t=17pi/180$, i calcoli non tornano il valore atteso, ovvero calcolato da te ed axpgn;
ottengo un valore piuttosto distante $24,...$; nonostante con diverse riprove la formula restituisca valori sempre compresi tra 24 e 26.
Il valore $24$ lo ottengo come limite di $t-> 0$ poiché in $t=0$ il valore di $\phi$ non è definito, e qui...
Grazie per un eventuale aiuto. saluti.
"curie88":
quello che calcoli con la formula distanza-retta-punto.coincide con
la misura del segmento polare che descrive l-ellisse, questo potrebbe anche essere ma non avendo ben chiaro cosa è α
Sarebbe come dici se la tangente fosse perpendicolare al 'segmento polare', ma questo è vero solo nei vertici della conica.
$ \alpha $ è semplicemente il parametro dell'equazione parametrica dell'ellisse. Pensa alla circonferenza: la sua equazione parametrica è $ x=r cos \alpha; y=\sin \alpha $, se tu la 'schiacci' verticalmente ottieni un'ellisse il cui semiasse maggiore è $ a=r $, mentre quello minore dipende da quanto la 'schiacci' e diventa $ b $.
Passare dal parametro $ \alpha $ all'angolo $ \phi $ è quanto mai semplice: basta pensare al triangolo rettangolo $ OPH $ dove $ H $ è il piede della perpendicolare condotta sa $ P $ all'asse focale. $ OH= a cos\alpha; HP= b \sin \alpha$ e $ \phi $ è l'angolo $ HOP $...
La tua formula per l'area mi pare giusta, il problema è che il tuo $ \phi $ dovrebbe essere l'angolo che una tangente forma con l'asse focale, e passare da questo al tuo $ t $ è il problema che devi ancora risolvere.
Ciao
Vedevo $\alfa$ come il tuo $ \phi$, ed in effetti non è così, ho potuto verificare io stesso.
Il passaggio da $phi$ a $t$, sto tentando di trovarlo fin dall-inizio ma purtroppo trovo sempre un incognita in più,
la variabile che ho definito $k$, che nella rappresentazione sta tra le due che devo mettere in relazione.
A causa di una errata rappresentazione del problema, ho dedotto la formula sopra, che di conseguenza non è corretta.
Saluti e grazie.
Il passaggio da $phi$ a $t$, sto tentando di trovarlo fin dall-inizio ma purtroppo trovo sempre un incognita in più,
la variabile che ho definito $k$, che nella rappresentazione sta tra le due che devo mettere in relazione.
A causa di una errata rappresentazione del problema, ho dedotto la formula sopra, che di conseguenza non è corretta.
Saluti e grazie.
"orsoulx":
La tua formula per l'area mi pare giusta, il problema è che il tuo $ \phi $ dovrebbe essere l'angolo che una tangente forma con l'asse focale, e passare da questo al tuo $ t $ è il problema che devi ancora risolvere.
Ciao
In effetti è proprio come dici, ho trovato la relazione tra $\phi$ e $t$, che è:
$tan(\phi)=b^2/a^2*\cot(t)$
Di conseguenza con le dovute sostituzioni, trovo la "formuletta" dell'area:
$area = 4{\sqrt(a² b⁴ \cot(t)² + a⁴ b²) sqrt(a⁶ + b⁶\cot(t)²)} / (a⁴ + b⁴\cot(t)²)$
che restituisce esattamente quanto trovato da voi.
Ciao, e grazie.
Prego. La perseveranza porta, spesso, buoni frutti. La formula che proponi, portando $ab$ fuori dalla prima radice e passando dalla cotangente alla tangente è identica all'altra.
Ciao
Ciao
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