Area compresa tra due circonferenze secanti

[curie88]

Ciao a tutti, eccovi un semplice passatempo:
Date due circonferenze secanti, di raggio uguale ed arbitrario, esprimere l-area compresa tra queste, in funzione dei due segmenti massimi, ortogonali tra loro (assi).

[teorema55]

Geometria analitica od euclidea?

[curie88]

Euclidea.

[teorema55]

Trovato, domattina posto. Tu hai modificato il primo post, ma non è necessario che siano uguali..................meglio, comunque.

[curie88]

Immagino si possa arrivare alla conclusione anche se i due raggi non sono uguali, io ho comunque medificato il post in base alla soluzione che ho trovato, in questo modo il raggio si elide ed i calcoli sono più semplici. Altrimenti, a prima vista,anche se non ho fatto i calcoli bisogna introdurre oltre ai due assi anche le misure dei raggi...Sono curioso di vedere la tua soluzione.

[teorema55]

Con due circonferenze di uguale raggio, arrivo a

$AREA = (A_M(R(π-2)+A_m))/2$

dove

$A_M=$ asse maggiore

$A_m=$ asse minore

$R=$ raggio delle circonferenze

Okkio: con i calcoli non sono un genio! Fammi sapere..............

[curie88]

Ciao teorema55 quella che tu proponi sembra diversa da quella che ho trovato io.
Ti posto quella che ho trovato, ammesso di non aver commesso errori:
$a$ e $b$ sono gli assi, ed $r$ chiaramente il raggio:
$area = 2r^2*\arcsin{a/(2r)}-(2r-b)a/2$, con $0<=a<=2r$ e $0<=b<=2r$ e $a>=b$
Se si pone $a=2r$e $b=2r$, si ottiene $\pi*r^2$ come ci si deve aspettare, ma questo avviene anche nella tua.
Se mi posti il ragionamento che hai fatto per ottenere la tua formula, possiamo confrontarci e vedere dove uno dei due o magari tutti e due sbagliamo. Saluti, e grazie per la partecipazione.

[teorema55]

Per trascrivere i passaggi ci metterei la notte intera, cosa che Alex mi ha sconsigliato caldamente.

Ho calcolato l'area come il doppio di uno dei due segmenti circolari di cui è composta, ciascuno dei quali vale

$Area_s =Area_S - Area_T$

dove

$s=$ segmento circolare
$S=$ settore circolare
$T=$ triangolo isoscele formato dalla corda (o asse maggiore) e dai due raggi.

Proverò a rifare i calcoli, sempre seguendo questo procedimento.

PS: O magari entrambi abbiamo fatto bene. Escluderei dalle condizioni

$a=b=0$

perché in tal caso le circonferenze sarebbero tangenti.

[curie88]

Certo che sarebbero tangenti, ma non è il caso limite in cui l-area richiesta si azzera?
È vero che avevo richiesto che fossero secanti, ma soltanto per far figurare il problema...

Dato che tantomeno io sono un genio, posto il procedimento...

S = area settore circolare con angolo $\alpha$
T = area triangolo isoscele di lati r, e vertici alla base sui centri dei cerchi.
$S = r^2*\alpha/2$
$T = (2r-b)*a/4$
$D = 2S - T$
$R = 2D$ area risultante
dove $\alpha=\arcsin{a/(2r)}$

Spero si capisca...in fondo sono due calcoli.

Ho provato a seguire il tuo procedimento, se lo ho afferrato, mi porta alla mia stessa formula....
Un-altra cosa che non ho capito e come hai fatto a far sparire l-arcoseno...introducendo $\pi$
Ciao

[curie88]

Pensare che avrei potuto postarlo anche in scuole primarie questo problemino...È sicuramente a livello elementare. Nessuno è in grado di illuminare la strada qui?

[marmi1]

Ciao,
direi che il segmento maggiore è sempre quello congiungente i due punti di intersezione.

Sia $2c=a$ e $2d=b$
Vale ($c^2+(r-d)^2)=r^2$. Da cui $r=(c^2+d^2)/(2d)$.
L’area come da calcoli di curie88:
$A=2*(S-T)=2*(2r^2*\alpha/2-(r-d)c) $
$\alpha=\arcsin(c/r)=\arcsin((2cd)/(c^2+d^2))$

$A=2(c^2+d^2)^2/(4d^2)*\alpha-(c^2-d^2)*c/d$

[curie88]

Ciao, marmi, grazie per l-intervento.