Angoli e bisettrici
siano BD e CE due bisettrici di un triangolo ABC
(i punti D ed E stanno sui lati AC ed AB, rispettivamente),
sapendo che
angolo ABC : 2 = angolo BDE : 3 = angolo DEC : 4
qual è l’ampiezza dell’angolo BAC ?
(con la scrittura angolo ABC intendo che B è il vertice dell'angolo)
(i punti D ed E stanno sui lati AC ed AB, rispettivamente),
sapendo che
angolo ABC : 2 = angolo BDE : 3 = angolo DEC : 4
qual è l’ampiezza dell’angolo BAC ?
(con la scrittura angolo ABC intendo che B è il vertice dell'angolo)
Risposte
L'angolo in A e' 22 gradi e mezzo!
Siano
ABC=2x
BDE=3x
DEC=4x
ABC=2a
ACB=2b
Sia inoltre P il punto di intersezione delle bisettrici.
Osservando il triangolo PDE si deduce
EPD=180-7x
BPC=EPD=180-7x (angoli opposti al vertice)
Consideriamo ora il triangolo BPC
si ha:
a+b+180-7x=180
da cui
a+b=7x (1)
Consideriamo ora il triangolo ABC; si ha:
x+a+b=90
ma per la (1) diventa:
x+7x=90
8x=90
Dividendo per 4 si ha:
2x=22.5
2x e' proprio l'angolo cercato.
torna?
ciao,
Giuseppe
Siano
ABC=2x
BDE=3x
DEC=4x
ABC=2a
ACB=2b
Sia inoltre P il punto di intersezione delle bisettrici.
Osservando il triangolo PDE si deduce
EPD=180-7x
BPC=EPD=180-7x (angoli opposti al vertice)
Consideriamo ora il triangolo BPC
si ha:
a+b+180-7x=180
da cui
a+b=7x (1)
Consideriamo ora il triangolo ABC; si ha:
x+a+b=90
ma per la (1) diventa:
x+7x=90
8x=90
Dividendo per 4 si ha:
2x=22.5
2x e' proprio l'angolo cercato.
torna?
ciao,
Giuseppe
Forse sbaglio ma secondo me il problema e' indeterminato,ovvero
qualunque angolo,purche' < 180°/7, e' accettabile.
Per esempio va bene anche ABC=20°.
Archimede.
qualunque angolo,purche' < 180°/7, e' accettabile.
Per esempio va bene anche ABC=20°.
Archimede.
no, scusa, perche'?
Archimede.
Ups!!!
Nella mia soluzione ho scritto ABC=2x
Ma poi ho usato BAC=2x!
devo rifare tutto, ci sentiamo...
ciao,
Giuseppe
Nella mia soluzione ho scritto ABC=2x
Ma poi ho usato BAC=2x!
devo rifare tutto, ci sentiamo...
ciao,
Giuseppe
non mi risulta che il problema sia indeterminato,
l'unica soluzione è proprio quella postata da archimede,
cioè l'angolo BAC = 40°
(trovo curioso il fatto che archimede sia intervenuto in questo topic, perchè il problema da me proposto è stato preso da un numero della rivista Archimede!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)
comunque, per ora aspetto a postare la soluzione...
l'unica soluzione è proprio quella postata da archimede,
cioè l'angolo BAC = 40°
(trovo curioso il fatto che archimede sia intervenuto in questo topic, perchè il problema da me proposto è stato preso da un numero della rivista Archimede!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)
comunque, per ora aspetto a postare la soluzione...
Giuro che quella rivista non la scrivo io!!
A parte gli scherzi,aspetto con curiosita' la tua soluzione
(magari nel frattempo ci studio ancora un pochino sopra).
Archimede.
A parte gli scherzi,aspetto con curiosita' la tua soluzione
(magari nel frattempo ci studio ancora un pochino sopra).
Archimede.
rieccomi!!!
Stavolta spero di non aver fatto errori banali! (e nemmeno gravi!!!)
Sono giunto alla stessa conclusione di Archimede!Non la rivista!!!
esempio (ditemi se vi torna!)
BAC=110
ABC=10
BCA=60
BDE=15
DEC=20
DPE=145
BPE=35
BEC=140
BDC=115
mi sembra che tutto torni
ABC:2=5
BDE:3=5
DEC:4=5
mi sembra che tutto torni...
Forse, Piera, ti sei scordata di digitare un'altra condizione...
ciao,
Giuseppe
Stavolta spero di non aver fatto errori banali! (e nemmeno gravi!!!)
Sono giunto alla stessa conclusione di Archimede!Non la rivista!!!
esempio (ditemi se vi torna!)
BAC=110
ABC=10
BCA=60
BDE=15
DEC=20
DPE=145
BPE=35
BEC=140
BDC=115
mi sembra che tutto torni
ABC:2=5
BDE:3=5
DEC:4=5
mi sembra che tutto torni...
Forse, Piera, ti sei scordata di digitare un'altra condizione...
ciao,
Giuseppe
fammi capire, sei partito considerando gli angoli
BAC=110
ABC=10
BCA=60
poi come hai fatto a dedurre tutti gli altri angoli?
se hai messo gli angoli senza alcuna considerazione geometrica, chi ti dice che un triangolo con tutti gli angoli che hai scritto possa esistere?
BAC=110
ABC=10
BCA=60
poi come hai fatto a dedurre tutti gli altri angoli?
se hai messo gli angoli senza alcuna considerazione geometrica, chi ti dice che un triangolo con tutti gli angoli che hai scritto possa esistere?
no, non li ho messi a caso!
controlla, e se non mi sono sbagliato il triangolo esiste!
Allora, io ho impostato il problema convinto che fosse determinato.
ho posto:
ABC=2x
BDE=3x
DEC=4x
e cosi' ho verificato la condizione di cui all'ipotesi.
di consequenza si ha:
BAC=180-14x
ACB=12x
DPE=180-7x
BPE=7x
BEC=180-8x
BDC=180-13x
poi ho cercato di trovare qualche triangolo o quadrilatero su cui impostare un equazione, ma non trovavo che identita'. (Allora ho pensato che forse mancava una condizione)
L'angolo in A e' 180-14x e deve essere positivo; quindi x deve essere minore di 90/7.
Questa e' lunica restrizione che ho trovato.
A questo punto solo un controesempio mi poteva convincere di aver commesso un errore, cosi' ho provato a dare un valore arbitrario ad x: 5.
Sostituendo ho trovato tutti gli altri angoli e non noto nessuna contraddizione, il che mi fa pensare di non aver commesso errori: il problema e' indeterminato e quella che ho dato sopra e' l\'unica condizione che x deve soddisfare.
Che dici? ti ho convinta?
Ciao,
Giuseppe
controlla, e se non mi sono sbagliato il triangolo esiste!
Allora, io ho impostato il problema convinto che fosse determinato.
ho posto:
ABC=2x
BDE=3x
DEC=4x
e cosi' ho verificato la condizione di cui all'ipotesi.
di consequenza si ha:
BAC=180-14x
ACB=12x
DPE=180-7x
BPE=7x
BEC=180-8x
BDC=180-13x
poi ho cercato di trovare qualche triangolo o quadrilatero su cui impostare un equazione, ma non trovavo che identita'. (Allora ho pensato che forse mancava una condizione)
L'angolo in A e' 180-14x e deve essere positivo; quindi x deve essere minore di 90/7.
Questa e' lunica restrizione che ho trovato.
A questo punto solo un controesempio mi poteva convincere di aver commesso un errore, cosi' ho provato a dare un valore arbitrario ad x: 5.
Sostituendo ho trovato tutti gli altri angoli e non noto nessuna contraddizione, il che mi fa pensare di non aver commesso errori: il problema e' indeterminato e quella che ho dato sopra e' l\'unica condizione che x deve soddisfare.
Che dici? ti ho convinta?
Ciao,
Giuseppe
tutti sbagliano con il mio nick pensando che sono una lei, però mi chiamo Alessandro!
partiamo da qui
BAC=180-14x
ACB=12x
DPE=180-7x
BPE=7x
BEC=180-8x
BDC=180-13x
tutto giusto (almeno mi pare)!
poi dici che non hai trovato condizioni per impostare un'equazione, però non è cosi
ti riporto la risoluzione (forse la migliore) di uno dei lettori della rivista:
[size=150]per maggior chiarezza aggiungo adesso anche la prima parte[/size]
[size=150]in pratica è una variante di quello che hai già fatto![/size]
sia angolo ABD =DBC =x
per le ipotesi si avrà BDE =3x , DEC = 4x
sia P il punto d'incontro delle bisettrici
DPC = EPB = 3x + 4x =7x (teorema dell'angolo esterno nel triangolo DEP)
PCB = 7x -x =6x (teorema angolo esterno triangolo CPB)
quindi anche ACE = 6x
AEC = 6x + 2x = 8x (teor. angolo esterno triangolo ECB)
e per differenza AED = 4x
consideriamo il triangolo CEB, il punto D, essendo l'intersezione della bisettrice dell'angolo interno CBE e della bisettrice dell'angolo esterno AEC, risulta l' ex-centro del triangolo relativo al lato CE
pertanto CD biseca l'angolo esterno ECC' (C' è un punto posto sul prolungamento di BC dalla parte di C)
quindi anche l'angolo ACC' misura quanto l'angolo ACE
ora in base ai conti precedenti,
BCE = ECA = ACC' = 6x
ma BCE + ECA + ACC' =180°
ovvero 18x = 180°
da cui x = 10°
angolo BAC = 40°
partiamo da qui
BAC=180-14x
ACB=12x
DPE=180-7x
BPE=7x
BEC=180-8x
BDC=180-13x
tutto giusto (almeno mi pare)!
poi dici che non hai trovato condizioni per impostare un'equazione, però non è cosi
ti riporto la risoluzione (forse la migliore) di uno dei lettori della rivista:
[size=150]per maggior chiarezza aggiungo adesso anche la prima parte[/size]
[size=150]in pratica è una variante di quello che hai già fatto![/size]
sia angolo ABD =DBC =x
per le ipotesi si avrà BDE =3x , DEC = 4x
sia P il punto d'incontro delle bisettrici
DPC = EPB = 3x + 4x =7x (teorema dell'angolo esterno nel triangolo DEP)
PCB = 7x -x =6x (teorema angolo esterno triangolo CPB)
quindi anche ACE = 6x
AEC = 6x + 2x = 8x (teor. angolo esterno triangolo ECB)
e per differenza AED = 4x
consideriamo il triangolo CEB, il punto D, essendo l'intersezione della bisettrice dell'angolo interno CBE e della bisettrice dell'angolo esterno AEC, risulta l' ex-centro del triangolo relativo al lato CE
pertanto CD biseca l'angolo esterno ECC' (C' è un punto posto sul prolungamento di BC dalla parte di C)
quindi anche l'angolo ACC' misura quanto l'angolo ACE
ora in base ai conti precedenti,
BCE = ECA = ACC' = 6x
ma BCE + ECA + ACC' =180°
ovvero 18x = 180°
da cui x = 10°
angolo BAC = 40°
Allora, per la prima parte tutto ok, stessi risultati!
Per la seconda parte non mi e' chiaro il significato di:
"ex-centro del triangolo relativo al lato CE"
E non riesco a trovare un assurdo nel triangolo da me proposto!
Per la seconda parte non mi e' chiaro il significato di:
"ex-centro del triangolo relativo al lato CE"
E non riesco a trovare un assurdo nel triangolo da me proposto!
sussiste il seguente teorema
le bisettrici di due angoli esterni di un triangolo e dall’angolo interno
non adiacente passano per uno stesso punto, detto ex-centro
dal teorema si deduce che un triangolo ha tre ex-centri, uno in corrispondenza
di ogni lato
i tre ex-centri, il circocentro, l’incentro, l’ortocentro e il baricentro si dicono
punti notevoli del triangolo (dico questo perché forse l’ex-centro è poco conosciuto
a differenza di tutti gli altri,anche se in un libro per un liceo scientifico c'è)
torniamo ora al triangolo CEB :
prolunghiamo il lato BC dalla parte di C e prendiamo
sul prolungamento un punto C’
per il teorema detto sopra le bisettrici dei due angoli esterni
ECC’ e CEA e la bisettrice dell’angolo interno CBE passano
per uno stesso punto
poiché DE è bisettrice di CEA e BD è bisettrice di CBE e passano
per il punto D, anche la bisettrice dell’angolo esterno ECC’ passerà
per D
quindi l'angolo ACC' misura quanto l'angolo ACE
ora in base ai conti precedenti,
BCE = ECA = ACC' = 6x
ma BCE + ECA + ACC' =180°
ovvero 18x = 180°
da cui x = 10°
angolo BAC = 40°
se dai ad x un valore diverso questa condizione non è più soddisfatta…
chiedi pure se qualcosa non ti torna
le bisettrici di due angoli esterni di un triangolo e dall’angolo interno
non adiacente passano per uno stesso punto, detto ex-centro
dal teorema si deduce che un triangolo ha tre ex-centri, uno in corrispondenza
di ogni lato
i tre ex-centri, il circocentro, l’incentro, l’ortocentro e il baricentro si dicono
punti notevoli del triangolo (dico questo perché forse l’ex-centro è poco conosciuto
a differenza di tutti gli altri,anche se in un libro per un liceo scientifico c'è)
torniamo ora al triangolo CEB :
prolunghiamo il lato BC dalla parte di C e prendiamo
sul prolungamento un punto C’
per il teorema detto sopra le bisettrici dei due angoli esterni
ECC’ e CEA e la bisettrice dell’angolo interno CBE passano
per uno stesso punto
poiché DE è bisettrice di CEA e BD è bisettrice di CBE e passano
per il punto D, anche la bisettrice dell’angolo esterno ECC’ passerà
per D
quindi l'angolo ACC' misura quanto l'angolo ACE
ora in base ai conti precedenti,
BCE = ECA = ACC' = 6x
ma BCE + ECA + ACC' =180°
ovvero 18x = 180°
da cui x = 10°
angolo BAC = 40°
se dai ad x un valore diverso questa condizione non è più soddisfatta…
chiedi pure se qualcosa non ti torna
ok, ora capisco! era quella la condizione che mi mancava...
sinceramente non avevo mai sentito nominare questo excentro ne', di consequenza il teorema. Non ci sarei mai potuto arrivare...
Comunque e' vero, la dimostrazione e' molto facile.
grazie.
PS
perche' ti sei scelto un nick femminile? (se non sono troppo invadente
)
ciao,
Giuseppe
sinceramente non avevo mai sentito nominare questo excentro ne', di consequenza il teorema. Non ci sarei mai potuto arrivare...
Comunque e' vero, la dimostrazione e' molto facile.
grazie.
PS
perche' ti sei scelto un nick femminile? (se non sono troppo invadente
)ciao,
Giuseppe
Sinceramente non sono riuscito a trovare incoerenze nella figura che posto.
L'unica condizione che trovo per z e' 0
Per esempio si hanno soluzione per z=10° (gia' trovata prima) e z=5°.
Forse mi sfugge qualcosa ma ,ripeto, studiando la figura non mi pare
di scorgere errori.
Archimede.
e' esattamente la figura che ho fatto io e z=5 era la mia ipotesi...
l'errore e' che se provi a fare il disegno con gli angoli esatti ti viene un errore nella retta DE, mi segui?
l'errore e' che se provi a fare il disegno con gli angoli esatti ti viene un errore nella retta DE, mi segui?
e' difficile da spiegare a parole, ma ci voglio provare!
prendi un punto Q su DE.
se PEQ=20 e PDQ=15
credo che E, Q e D non possano essere allineati.
spero di aver risposto al tuo dubbio, anche se la mia spiegazione fa appello a tutto il tuo intuito...
ciao,
Giuseppe
prendi un punto Q su DE.
se PEQ=20 e PDQ=15
credo che E, Q e D non possano essere allineati.
spero di aver risposto al tuo dubbio, anche se la mia spiegazione fa appello a tutto il tuo intuito...
ciao,
Giuseppe
@Giusepperoma
perchè il mio cognome è Pieragalli e tutti i miei amici mi hanno sempre chiamato cosi'
(Pieragalli senza galli)
@archimede
nella figura che hai fatto, prolunga dalla parte di C la retta BC, l'angolo che ottieni (indicalo con ACC')per quello detto nel mio precedente post è 6z sempre
ora, tutti e tre gli angoli di ampiezza 6z formano un angolo piatto, cioè
6z + 6z + 6z =180
z = 10
perchè il mio cognome è Pieragalli e tutti i miei amici mi hanno sempre chiamato cosi'
(Pieragalli senza galli)
@archimede
nella figura che hai fatto, prolunga dalla parte di C la retta BC, l'angolo che ottieni (indicalo con ACC')per quello detto nel mio precedente post è 6z sempre
ora, tutti e tre gli angoli di ampiezza 6z formano un angolo piatto, cioè
6z + 6z + 6z =180
z = 10
in piu' dal tuo disegno si "vede" abbastanza bene che BCD e' 2/3 di 180 da cui x=10.
per dimostrare il teorema dell'excentro bastano un paio di considerazioni:
D si trova sulla bisettrice di EAC e dunque e' equidistante dalle rette AE e CE.
D si trova sulla bisettrice di ABC e dunque e' equidistante dalle rette EA e BC.
Ma allora D e' equidistante dalle rette EC e BC e dunque si trova sulla bisettrice dell'angolo ECC'.
torna?
D si trova sulla bisettrice di EAC e dunque e' equidistante dalle rette AE e CE.
D si trova sulla bisettrice di ABC e dunque e' equidistante dalle rette EA e BC.
Ma allora D e' equidistante dalle rette EC e BC e dunque si trova sulla bisettrice dell'angolo ECC'.
torna?
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