Ancora interi

[Sk_Anonymous]

Determinare tutte le terne [tex]$(m,n,p)$[/tex] tali che [tex]$p^{n} + 144=m^{2}$[/tex], dove [tex]$m$[/tex] e [tex]$n$[/tex] sono interi positivi e [tex]$p$[/tex] è intero primo.

Prove it!

[xXStephXx]

Provinciali di quale anno?
Apparte gli scherzi (anche se lo conoscevo già), metto uno spoiler

Scomponete in fattori e calcolate la differenza tra i due fattori.

[Sk_Anonymous]

In realtà l'ho preso dalle dispense che hai segnalato tu qualche tempo fa.
Purtroppo ho frequentato l'unico liceo della provincia non iscritto al progetto delle Olimpiadi, sebbene i cervelli (prof.) che girano all'interno dell'istituto avrebbero potuto, a mio avviso, preparare una squadra con in fiocchi. Indi per cui mi sono sempre divertito per conto mio.

Tanto per curiosità, quante terne ti risultano?

[xXStephXx]

http://www.oliforum.it/viewtopic.php?f=15&t=16061

[Sk_Anonymous]

Perfetto. Ho dato un'occhiata alla tua soluzione; domani (o meglio, oggi) ti illustro la mia.

[Richard_Dedekind]

Interessante, molto interessante. Premetto che non ho visto i vostri suggerimenti, ci sta che esista un metodo migliore. Questo è quello standard per le equazioni diofantee non lineari sufficientemente semplici.

Direi che si potrebbe fare così, riscrivendo la relazione in maniera diversa:
\( (m-12)(m+12)=p^n\)
Allora per il teorema di fattorizzazione essenzialmente unica \(\exists\,\alpha,\beta\in\mathbb{N}\) tali che \(p^\alpha=m-12,\,\,p^\beta=m+12\) con \(\alpha+\beta=n\). Ora, sottraendo memebro a membro, \(p^\beta -p^\alpha = 24\Rightarrow p^\alpha(p^{\beta-\alpha}-1)=24\). Tuttavia, \(p^\alpha\,|\,24\iff p^\alpha=2,3,4,8\) e se ci mettiamo a provare le varie combinazioni troviamo che le uniche possibili sono per \(p^\alpha=3,p^\alpha=8\Rightarrow p=3,2\,,\alpha=1,3\) e dànno \(p^\beta=27\Rightarrow p=3,\beta=3\,\,\,p^\beta=32\Rightarrow p=2,\beta=5\). Dunque alcuni valori possibili di \(p\) ed \(n=\alpha+\beta\) sono:
[tex]p=3\,,n=1+3=4;\,\,\,\,p=2\,,n=3+5=8[/tex]
C'è un altro caso che va preso in considerazione: se \(p^\alpha=1\iff \alpha=0\) si può avere \(p^\beta - 1=24\iff p^\beta=25\iff p=5,\beta=2\). Questo fornisce i valori di \(p=5,n=2\). In conclusione, non potendoci essere altri casi possibili, le uniche terne che verificano l'uguaglianza sono:
\[(3,4,15),(2,8,20),(5,2,13)\]

[Sk_Anonymous]

Corretto. Unica piccola nota: hai invertito l'ordine dei numeri.
Io ho utilizzato la medesima tua strategia, pertanto fornisco solo delle indicazioni [in spoiler].

Posto [tex]$p^{n}=(m-12)(m+12) \ \rightarrow \ p \cdot p^{n-1}=(m-12)(m+12)$[/tex] si possono a ragion veduta considerare corrette le uguaglianze del sistema [tex]$\begin{cases} p=m-12 \\ p^{n-1}=m+12\end{cases}$[/tex] da cui si ottiene [tex]$p(p^{n-2} - 1)=24$[/tex]. La fattorizzazione unica di [tex]$24$[/tex] suggerisce che [tex]$p$[/tex] può essere uguale soltanto a [tex]$2$[/tex] (caso che si esclude in principio poiché si avrebbe poi [tex]$2^{n-2}=13$[/tex], uguaglianza verificata soltanto per valori di [tex]$n$[/tex] non interi, contro le ipotesi iniziali) o [tex]$3$[/tex]. La prima terna sarà quindi [tex]$(15,4,3)$[/tex]. Procedendo mediante la medesima tecnica si intuisce che è opportuno fermarsi all'analisi dell'uguaglianza [tex]$p^{3}(p^{n-6}-1)=24$[/tex], in quanto i fattori primi nei quali si scompone [tex]$24$[/tex] hanno esponente massimo pari a [tex]$3$[/tex].
Da analizzarsi anche il caso in cui [tex]$\begin{cases}1=m-12 \\ p^{n}=m+12 \end{cases}$[/tex].

[Richard_Dedekind]

Oddio, scusa, ho scritto \((p,n,m)\) invece di \((m,n,p)\). Ora metto in spoiler.

[Sk_Anonymous]

Quali sono le coppie di interi primi [tex]$(p,q)$[/tex] che verificano l'equazione [tex]$[1] \ p^{2} + pq +275p + 10q=2008$[/tex]?

La [tex]$[1]$[/tex] può essere scritta anche come [tex]$q=\frac{2008-275p-p^{2}}{10+p}$[/tex] che diviene, operando la divisione tra i due polinomi, [tex]$q=\frac{4658}{p+10} - p - 265$[/tex]. Poiché entrambi i numeri che si cercano devono essere interi, sarà necessario che anche [tex]$\frac{4658}{p+10}$[/tex] lo sia; e affinché ciò avvenga si deve avere che [tex]$4658=k(p+10)$[/tex], con [tex]$k$[/tex] intero. Pertanto [tex]$p+10$[/tex] potrà essere uguale a [tex]$2,17,34,137,274,2329,4658$[/tex]; quindi:
[tex]$p=-8 \quad \rightarrow \quad \mathrm{non} \ \mathrm{accettabile}$[/tex]
[tex]$p=7 \quad \Rightarrow \quad q=2 \quad \mathrm{accettabile}$[/tex]
[tex]$p=24 \quad \rightarrow \quad \mathrm{non} \ \mathrm{accettabile}$[/tex]
[tex]$p=127 \rightarrow \quad q=-358 \quad \mathrm{non} \ \mathrm{accettabile}$[/tex]
[tex]$p=264 \quad \rightarrow \quad \mathrm{non} \ \mathrm{accettabile}$[/tex]
[tex]$p=2319 \quad \rightarrow \quad \mathrm{non} \ \mathrm{accettabile}$[/tex]
[tex]$p=4648 \quad \rightarrow \quad \mathrm{non} \ \mathrm{accettabile}$[/tex]

Ergo l'unica coppia di primi che soddisfa la [tex]$[1]$[/tex] è [tex]$(7,2)$[/tex].

[xXStephXx]

Facendo la congruenza modulo 2 si deduce che almeno uno tra p e q deve essere pari e di conseguenza uguale a 2 dato che sono numeri primi. A quel punto viene una normale equazione scolastica

Vabbè è meglio la tua soluzione xd

[Sk_Anonymous]

Sia \( n \) il più piccolo intero positivo \(>200\) che si può scrivere sia come somma di \(5\) interi consecutivi, sia come somma di \(6 \) interi consecutivi, sia come somma di \(7 \) interi consecutivi. Quanto vale \(n \ \)?

[Gi81]

@Delirium:

$n=315$?

[xXStephXx]

Anche a me, come ho scritto nell'altro topic, facendo il sistema di congruenze viene come risultato [tex]210n+105[/tex]
Quindi il più piccolo è quello.

[Sk_Anonymous]

Yes!