(analisi) derivata di una funzione simmetrica

[Sk_Anonymous]

dimostrare che se f(x)=f(-x) allora in 0 f'(0)=0 oppure f(x) non è derivabile in 0.

[Piera4]

Supponiamo f(x) derivabile in 0, ovvero
lim[f(h)-f(0)]/h =f'(0)
h->0

eseguendo il cambiamento di variabile h=-k si ha
lim[f(h)-f(0)]/h =
h->0
lim[f(-k)-f(0)/(-k)= (essendo f(-k)=f(k) per ipotesi)
k->0
-lim[f(k)-f(0)]/k=-f'(0)
k->0

Pertanto si ha f'(0)=-f'(0), cioè f'(0)=0

[Kroldar]

per ogni x < 0 la derivata di f risulta df(-x)/d(-x) ma siccome f(x) = f(-x) e d(-x) = -dx allora per x < 0 la derivata di f risulta essere -df(x)/dx. Per derivare la funzione in 0 abbiamo che la derivata sinistra in quel punto è -f'(0) mentre la derivata destra è f'(0)... l'unico modo affinché esse coincidano è che valgano entrambe 0; in caso contrario le due derivate sono diverse, dunque non esiste f'(0) e la funzione in 0 non è derivabile

[Sk_Anonymous]

bravi tutti e due, kroldar leggermente più preciso