Altro giochino
qual è la probabilità che un numero intero elevato al quadrato dia come risultato un numero che ha come prima cifra 7?
Risposte
A naso, senza calcoli o tentativi di risoluzione: direi che è equivalente alla probabilità che un numero intero qualunque, preso a caso, abbia prima cifra '7'.
"Rggb":
A naso, senza calcoli o tentativi di risoluzione: direi che è equivalente alla probabilità che un numero intero qualunque, preso a caso, abbia prima cifra '7'.
Non lo so, di questo non conosco la soluzione
(però c'è 
)
"Rggb":
A naso, senza calcoli o tentativi di risoluzione: direi che è equivalente alla probabilità che un numero intero qualunque, preso a caso, abbia prima cifra '7'.
dici? mi preoccupava che $7$ ha la brutta sfortuna che i quadrati dei numeri da $1$ a $9$ non iniziano mai per $7$. però nei primi 100 numeri ce ne $8$, che è già vicino a 10... non so.
però ho fatto qualche calcolo, se arrivo a una conclusione buona li posto, e mi pare che: numeri che iniziano per $1,3,4,5,6,7,9$ non hanno mai quadrato che inizia per $7$.
restano $2,8$ per cui è di certo possibile, ma per non troppi numeri. e allora in effetti ci sta che più o meno "di due se ne fa uno", potresti anche avere ragione..
risultati empirici, che si basano sulla verità di ciò che ho detto, dicono:
0 tra 1-10
8 tra 1-100
769 tra 1-1000
quindi stiamo secondo me intorno al 8-9 % penso che salgano, ma naso direi sempre sotto il 10%
perchè in generale, sempre secondo miei "conti" e un po' di intuizione, dicono che "pochi" (un 15%) dei numeri che iniziano per 2 ci piacciono, e molti di quelli che iniziano per 8, un buon 75%. e siccome abbiamo solo 9 cifre, si va verso quel risultato.
con un po' di approssimazione si capisce. quindi mi piace Rggb, che in effetti ha già "annusato" la soluzione.
ma non vi fidate troppo di me, non sono particolarmente bravo ad approssimare
La butto lì: e se il limite della probabilità richiesta non esistesse ??Potrebbe accadere che la probabilità richiesta oscilli indefinitamente tra due estremi, un po' come accade per il $\lim_{x to +\infty}sinx$
Spiego perchè ho avanzato l'ipotesi di probabilità non definita.
Ho scritto un programmino in R che conta quanti numeri soddisfano la proprietà richiesta. L'idea è di rappresentare in un grafico la richiesta probabilità all'aumentare del numero $n$, per cercare di capire quale può essere il limite.
Questo è il codice:
Qusto è stato il grafico (mi ha sorpreso non poco..) da cui l'ipotesi che non esista un limite alla richiesta probabilità.
Sottopongo con le dovute riserve.
Ho scritto un programmino in R che conta quanti numeri soddisfano la proprietà richiesta. L'idea è di rappresentare in un grafico la richiesta probabilità all'aumentare del numero $n$, per cercare di capire quale può essere il limite.
Questo è il codice:
Qusto è stato il grafico (mi ha sorpreso non poco..) da cui l'ipotesi che non esista un limite alla richiesta probabilità.
Sottopongo con le dovute riserve.
Moolto interessante... fra l'altro conferma il mio sospetto. Puoi provare a fare un grafico simile per i numeri che cominciano per 7 per vedere cosa vien fuori?
"Rggb":
Moolto interessante... fra l'altro conferma il mio sospetto. Puoi provare a fare un grafico simile per i numeri che cominciano per 7 per vedere cosa vien fuori?
Certo, ecco il grafico:
L'andamento è lo stesso (oscillante), anche se gli estremi sono (sembrano) differenti.
Ti confesso che non me lo aspettavo proprio.. avrei detto che la probabilità che un numero naturale inizi per 7 è pari a $1/9$
(un solo numero su 9 possibilità). Lo trovo sorprendente: non riesco a spiegarmelo!
Avrò mica fatto un errore nel codice ?
Ci avrei scommesso che veniva un andamento simile. Non ho notato errori nel tuo codice, forse l'errore (se c'è) è concettuale... ma è un po' tardino e magari domani facciamo un aggiornamento a mente lucida, cercando la soluzione (se esiste, e quanto vale).
Nice job, as usual.
Nice job, as usual.
"Rggb":
Nice job, as usual.
Grazie!
Per curiosità ho fatto un'altra prova: la probabilità che un numero naturale inizi per 1.
L'andamento è sempre oscillante... ma gli estremi sono diversi! La probabilità sembra compresa tra 0.11111 e 0.55555
Invece la probabilità che un numero naturale inizi per 7 sembra compresa tra 0.01587 e 0.13888
Dovrei concludere che è più probabile che un naturale inizi per 1 che per 7 ?
Più il numero aumenta (da 1 a 9) più gli estremi di oscillazione diminuiscono..
Mah... meglio dormirci su..
"cenzo":
Dovrei concludere che è più probabile che un naturale inizi per 1 che per 7 ?
Sembrerebbe proprio così! (almeno per distribuzioni "reali").
Googlando un po' ho scoperto la "legge di Benford" (molto interessanti le sue applicazioni..)
http://en.wikipedia.org/wiki/Benford%27s_law
http://xmau.com/mate/art/benford.html
Comunque pensaci bene un attimo, il fatto che la probabilità "oscilli" per così dire non sorprende:
- da 1 fino a 69 c'è un solo numero che inizia per 7 (7, appunto);
- poi ci sono 70, 71, 72...79 e la probabilità "cresce" rapidamente;
- poi non ci sono altri numeri che iniziano con 7 fino a 699 (probabilità cala);
- poi ci sono 700, 701, .. 799 e la probabiità cresce rapidamente;
e così via. E ovviamente la regola vale per ogni cifra.
Quello che mi aspettavo era che gli andamenti (ed i valori) di tutti i numeri che iniziano con 7 e dei quadrati che iniziano con 7 fossero (pressapoco) uguali, i tuoi calcoli suggeriscono di no. "Strano", mi vien da dire, ma può essere: a questo punto suggerisco che siano direttamente proporzionali.
Cerchiamo allora una soluzione analitica.
- da 1 fino a 69 c'è un solo numero che inizia per 7 (7, appunto);
- poi ci sono 70, 71, 72...79 e la probabilità "cresce" rapidamente;
- poi non ci sono altri numeri che iniziano con 7 fino a 699 (probabilità cala);
- poi ci sono 700, 701, .. 799 e la probabiità cresce rapidamente;
e così via. E ovviamente la regola vale per ogni cifra.
Quello che mi aspettavo era che gli andamenti (ed i valori) di tutti i numeri che iniziano con 7 e dei quadrati che iniziano con 7 fossero (pressapoco) uguali, i tuoi calcoli suggeriscono di no. "Strano", mi vien da dire, ma può essere: a questo punto suggerisco che siano direttamente proporzionali.
Cerchiamo allora una soluzione analitica.
Direi che nei primi $10^n$ interi, per $ n \rightarrow oo $
la probabilità vale $(sqrt(8)-sqrt(7))/(sqrt(10)-1)$
per numeri compresi tra $10^n $ e $ 10^(n+1)$ calerà fino a $sqrt(7)*10^n$
per poi crescere fino a $sqrt(8)*10^n$ e quindi tornerà a calare.
Ciao,
Marmi
la probabilità vale $(sqrt(8)-sqrt(7))/(sqrt(10)-1)$
per numeri compresi tra $10^n $ e $ 10^(n+1)$ calerà fino a $sqrt(7)*10^n$
per poi crescere fino a $sqrt(8)*10^n$ e quindi tornerà a calare.
Ciao,
Marmi
"cenzo":
Invece la probabilità che un numero naturale inizi per 7 sembra compresa tra 0.01587 e 0.13888
In questo caso le frequenze si calcolano facilmente.
Indichiamo con $q(n)$ il numero di naturali $\le n$ che iniziano per $7$; si vede subito che
$q(7\cdot 10^n-1) = \frac{10^n-1}{9}$, $q(8\cdot 10^n-1) = \frac{10^{n+1}-1}{9} = q(7\cdot 10^{n+1}-1)$.
La successione $q(n)$ è monotona, rimane (ovviamente) costante negli intervalli $8\cdot 10^n-1,\ldots, 7\cdot 10^{n+1}-1$, mentre cresce con step $1$ negli intervalli $7\cdot 10^n-1,\ldots, 8\cdot 10^{n}-1$.
Analoghe frequenze si possono calcolare per le altre cifre iniziali.
Per ogni ciclo, le frequenze relative massime e minime sono dunque
$q_{min} = \frac{q(7\cdot 10^n)-1}{7\cdot 10^n - 1} = \frac{10^n-1}{9\cdot(7\cdot 10^n-1)} \sim \frac{1}{63} = 0.015873$,
$q_{max} = \frac{q(8\cdot 10^n)-1}{8\cdot 10^n - 1} = \frac{10^{n+1}-1}{9\cdot(8\cdot 10^n-1)} \sim \frac{10}{72} = 0.13\bar{8}$.
Se invece indichiamo con $p(n)$ il numero di naturali $\le n$ tali che il loro quadrato inizi per $7$, con una costruzione simile si arriva a
$p_{min} \sim \frac{\sqrt{8}-\sqrt{7}}{(\sqrt{10}-1)\sqrt{7}} = 0.0319316...$,
$p_{max} \sim \frac{(\sqrt{8}-\sqrt{7})\sqrt{10}}{(\sqrt{10}-1)\sqrt{8}} = 0.0944549...$
(Tutto questo, naturalmente, salvo errori.)
Tutto corretto direi, metto anche io un paio di calcoli "grezzi" che possano far capire la situazione. Cominciamo dai numeri che iniziano per la cifra che ci interessa (7), niente formule da fare quindi, e analizziamo due casi estremi:
1) universo dei numeri compresi fra 1 e 699999;
i numeri che iniziano per 7 sono 7, 70..79, 700..799, 7000..7999, 70000..79999
in totale abbiamo 1+10+100+1000+10000=11111 numeri su 699999 (circa 1.59%)
2) universo dei numeri compresi fra 1 e 799999;
i numeri che iniziano per 7 sono 7, 70..79, 700..799, 7000..7999, 70000..79999, 700000..799999
in totale 111111 numeri su 799999 (circa 13,89%)
Il calcolo fatto da cenzo è il medesimo. Come abbiamo visto, questo andamento è legato alla successione dettagliatamente spiegata da Rigel. Analogamente succede con i quadrati. Messa così, direi che il calcolo della probabilità non possa essere legato ad una formula di conteggio casi favorevoli/casi possibili.
Ma sono convinto che si possa trovare un valore puntuale: il nostro universo non è limitato; date le mie scarse conoscenze di analisi chiedo aiuto, "sento" che una trasposizione del problema (con integrali?) ci possa aiutare; se le vostre considerazioni di sopra hanno già una tale proprietà vi prego di spiegarmela, in analisi sono - appunto - scarso.
1) universo dei numeri compresi fra 1 e 699999;
i numeri che iniziano per 7 sono 7, 70..79, 700..799, 7000..7999, 70000..79999
in totale abbiamo 1+10+100+1000+10000=11111 numeri su 699999 (circa 1.59%)
2) universo dei numeri compresi fra 1 e 799999;
i numeri che iniziano per 7 sono 7, 70..79, 700..799, 7000..7999, 70000..79999, 700000..799999
in totale 111111 numeri su 799999 (circa 13,89%)
Il calcolo fatto da cenzo è il medesimo. Come abbiamo visto, questo andamento è legato alla successione dettagliatamente spiegata da Rigel. Analogamente succede con i quadrati. Messa così, direi che il calcolo della probabilità non possa essere legato ad una formula di conteggio casi favorevoli/casi possibili.
Ma sono convinto che si possa trovare un valore puntuale: il nostro universo non è limitato; date le mie scarse conoscenze di analisi chiedo aiuto, "sento" che una trasposizione del problema (con integrali?) ci possa aiutare; se le vostre considerazioni di sopra hanno già una tale proprietà vi prego di spiegarmela, in analisi sono - appunto - scarso.
io ho seguito un'altra strada.
quelle che ho visto non mi convincono perchè
1. la legge di Benford dice "in liste di numeri presi da molte (ma non tutte) fonti di dati della vita reale, la prima cifra non è distribuita in modo uniforme".
ma noi non stiamo mica parlando di numeri presi da scontrini di negozi di caccia, o da numeri di maglia dei giocatori di basket.
2. Non mi convincerete mai che sia più probabile che un numero inizi per 1 piuttosto che per 7. e tantomento che la probabilità vari proporzionalmente con la cifra.
quindi ho fatto delle ipotesi che mi paiono ragionevoli: preso un numero [tex]$n$[/tex], è equiprobabile che la sua cifra di posto [tex]$k$[/tex] sia una qualsiasi di quelle in [tex]$\left\{1, \dots, 9 \right\}$[/tex] se [tex]$k$[/tex] è la prima cifra, una qualsiasi di quelle in [tex]$\left\{0,1, \dots, 9 \right\}$[/tex] per gli altri posti. Inoltre il mio metodo mi pare più ragionevole perchè io non considero i numeri tra [tex]$1$[/tex] e [tex]$n$[/tex], anche perchè qui la probabilità è fissata, basta contare, bensì i numeri maggiori di [tex]$n$[/tex]. in particolare viene perfettamente con [tex]$n=10^m$[/tex].
il punto è che non ho un approccio informatico-computazionale come il vostro, ma matematico. e magari in questo modo mi sfuggono delle cose, anche perchè come ho detto non sono un bravo statistico.
allora vado a descrivere la mia idea.
Sia [tex]$n=a \cdot 10^m + x$[/tex] con [tex]$a \in \left\{ 1, \dots , 9 \right\}$[/tex],
Basta un rapido conto per vedere che [tex]$n^2=7 \cdot 10^p + y$[/tex] implica [tex]$a=2 \lor a=8$[/tex].
Dò la dimostrazione per [tex]$a=3$[/tex], gli altri sono analoghi:
semplicemente se [tex]$n=3 \cdot 10^m +x$[/tex] allora
[tex]$3 \cdot 10^m \le n \le 4 \cdot 10^m$[/tex] e
[tex]$9 \cdot 10^{2m} \le n^2 \le 16 \cdot 10^2m$[/tex] e nessun numero lì in mezzo inizia per [tex]$7$[/tex].
Chiamiamo [tex]$P^{\left( k \right) }$[/tex] la probabilità che [tex]$n>10^k$[/tex] abbia quadrato che inizia per [tex]$7$[/tex], (ovviamente si trova un intervallo di probabilità) con approssimazione data dall’analisi fino alla [tex]$k\text{-esima}$[/tex] cifra.
Alla prima cifra la probabilità, (sballata) è [tex]$P^{\left( 1 \right) }=\frac{2}{9}=0.\bar{2} \pm \rho \cdot 0. \bar{2}$[/tex] con [tex]$\rho \in \left[ 0,1 \right]$[/tex]. che non è che sia un gran risultato.
Andiamo alla seconda cifra e ovviamente teniamo conto solo dei numeri che iniziano per [tex]$2,\ 8$[/tex]. adesso è un po’ diverso, guardo quando i numeri nella forma [tex]$n=8 \cdot 10^m + k \cdot 10^{m-1}$[/tex] hanno quadrato che inizia per [tex]$7$[/tex], tanto so che [tex]$a
Analogo il conto per [tex]$n=2k \dots=2 \cdot 10^m +k \cdot 10^{m-1} + \dots$[/tex] al variare di [tex]$k$[/tex]. (come sospettavo vengono pochi quelli che iniziano con 2.)
In totale il conticino restituisce [tex]$P^{\left( 2 \right) } = 0.0\bar{8} \pm \rho \cdot 0.0\bar{2}$[/tex] con [tex]$\rho \in \left[ 0,1 \right]$[/tex] (spero sia chiaro il ruolo di [tex]$\rho$[/tex]: è perché la probabilità sta in un punto non specificato di tale intervallo, non per forza al centro o agli estremi.)
Faccio lo stesso per la terza cifra. Ovviamente solo per i numeri “limite” ovvero quelli per cui è possibile ma non certo che il quadrato sia 7, come [tex]$n=83 \cdot 10^{m-1}+x[/tex] con [tex]$x$[/tex] “piccolo” ovviamente.
E allora studio [tex]$n=83 \cdot 10^{m-1} + k \cdot 10^{m-2}$[/tex] al variare di [tex]$k \in \left\{0,1, \dots, 9 \right\}$[/tex]. Viene [tex]$n^2=6 \cdot 10^{2m+1}+8 \cdot 10^{2m} + 9 \cdot 10^{2m-1} + 9 \cdot 10^{2m-2} + 166 \cdot k \cdot 10^{2m-3} + k^2 \cdot 10^{2m-4}$[/tex] e anche qui avremo il nostro bravo risultato, e lo stesso per gli altri numeri da controllare.
E allora alla terza cifra viene un risultato già interessante per il piccolo margine di errore, meno dello [tex]$0.5 \%$[/tex] ed è [tex]$P^{\left( 3 \right)} = 0.07\bar{3} \pm \rho \cdot 0.0\bar{2}$[/tex]. Ovvero da un minimo di [tex]$0.07\bar{1}$[/tex] a un massimo di [tex]$0.07\bar{5}$[/tex]. Andando avanti con analisi alle cifre successive, si può ottenere il margine voluto ovviamente.
è interessante che la probabilità è meno di quel che ci si aspetta, come dice Rggb, ovvero [tex]$0.\bar{1}=\frac{1}{9}$[/tex].
se qualcuno fosse interessato (sono un illuso?) posso spiegare meglio il mio ragionamento.
Scusate per la lunghezza.
quelle che ho visto non mi convincono perchè
1. la legge di Benford dice "in liste di numeri presi da molte (ma non tutte) fonti di dati della vita reale, la prima cifra non è distribuita in modo uniforme".
ma noi non stiamo mica parlando di numeri presi da scontrini di negozi di caccia, o da numeri di maglia dei giocatori di basket.
2. Non mi convincerete mai che sia più probabile che un numero inizi per 1 piuttosto che per 7. e tantomento che la probabilità vari proporzionalmente con la cifra.
quindi ho fatto delle ipotesi che mi paiono ragionevoli: preso un numero [tex]$n$[/tex], è equiprobabile che la sua cifra di posto [tex]$k$[/tex] sia una qualsiasi di quelle in [tex]$\left\{1, \dots, 9 \right\}$[/tex] se [tex]$k$[/tex] è la prima cifra, una qualsiasi di quelle in [tex]$\left\{0,1, \dots, 9 \right\}$[/tex] per gli altri posti. Inoltre il mio metodo mi pare più ragionevole perchè io non considero i numeri tra [tex]$1$[/tex] e [tex]$n$[/tex], anche perchè qui la probabilità è fissata, basta contare, bensì i numeri maggiori di [tex]$n$[/tex]. in particolare viene perfettamente con [tex]$n=10^m$[/tex].
il punto è che non ho un approccio informatico-computazionale come il vostro, ma matematico. e magari in questo modo mi sfuggono delle cose, anche perchè come ho detto non sono un bravo statistico.
allora vado a descrivere la mia idea.
Sia [tex]$n=a \cdot 10^m + x$[/tex] con [tex]$a \in \left\{ 1, \dots , 9 \right\}$[/tex],
Basta un rapido conto per vedere che [tex]$n^2=7 \cdot 10^p + y$[/tex] implica [tex]$a=2 \lor a=8$[/tex].
Dò la dimostrazione per [tex]$a=3$[/tex], gli altri sono analoghi:
semplicemente se [tex]$n=3 \cdot 10^m +x$[/tex] allora
[tex]$3 \cdot 10^m \le n \le 4 \cdot 10^m$[/tex] e
[tex]$9 \cdot 10^{2m} \le n^2 \le 16 \cdot 10^2m$[/tex] e nessun numero lì in mezzo inizia per [tex]$7$[/tex].
Chiamiamo [tex]$P^{\left( k \right) }$[/tex] la probabilità che [tex]$n>10^k$[/tex] abbia quadrato che inizia per [tex]$7$[/tex], (ovviamente si trova un intervallo di probabilità) con approssimazione data dall’analisi fino alla [tex]$k\text{-esima}$[/tex] cifra.
Alla prima cifra la probabilità, (sballata) è [tex]$P^{\left( 1 \right) }=\frac{2}{9}=0.\bar{2} \pm \rho \cdot 0. \bar{2}$[/tex] con [tex]$\rho \in \left[ 0,1 \right]$[/tex]. che non è che sia un gran risultato.
Andiamo alla seconda cifra e ovviamente teniamo conto solo dei numeri che iniziano per [tex]$2,\ 8$[/tex]. adesso è un po’ diverso, guardo quando i numeri nella forma [tex]$n=8 \cdot 10^m + k \cdot 10^{m-1}$[/tex] hanno quadrato che inizia per [tex]$7$[/tex], tanto so che [tex]$a
Analogo il conto per [tex]$n=2k \dots=2 \cdot 10^m +k \cdot 10^{m-1} + \dots$[/tex] al variare di [tex]$k$[/tex]. (come sospettavo vengono pochi quelli che iniziano con 2.)
In totale il conticino restituisce [tex]$P^{\left( 2 \right) } = 0.0\bar{8} \pm \rho \cdot 0.0\bar{2}$[/tex] con [tex]$\rho \in \left[ 0,1 \right]$[/tex] (spero sia chiaro il ruolo di [tex]$\rho$[/tex]: è perché la probabilità sta in un punto non specificato di tale intervallo, non per forza al centro o agli estremi.)
Faccio lo stesso per la terza cifra. Ovviamente solo per i numeri “limite” ovvero quelli per cui è possibile ma non certo che il quadrato sia 7, come [tex]$n=83 \cdot 10^{m-1}+x[/tex] con [tex]$x$[/tex] “piccolo” ovviamente.
E allora studio [tex]$n=83 \cdot 10^{m-1} + k \cdot 10^{m-2}$[/tex] al variare di [tex]$k \in \left\{0,1, \dots, 9 \right\}$[/tex]. Viene [tex]$n^2=6 \cdot 10^{2m+1}+8 \cdot 10^{2m} + 9 \cdot 10^{2m-1} + 9 \cdot 10^{2m-2} + 166 \cdot k \cdot 10^{2m-3} + k^2 \cdot 10^{2m-4}$[/tex] e anche qui avremo il nostro bravo risultato, e lo stesso per gli altri numeri da controllare.
E allora alla terza cifra viene un risultato già interessante per il piccolo margine di errore, meno dello [tex]$0.5 \%$[/tex] ed è [tex]$P^{\left( 3 \right)} = 0.07\bar{3} \pm \rho \cdot 0.0\bar{2}$[/tex]. Ovvero da un minimo di [tex]$0.07\bar{1}$[/tex] a un massimo di [tex]$0.07\bar{5}$[/tex]. Andando avanti con analisi alle cifre successive, si può ottenere il margine voluto ovviamente.
è interessante che la probabilità è meno di quel che ci si aspetta, come dice Rggb, ovvero [tex]$0.\bar{1}=\frac{1}{9}$[/tex].
se qualcuno fosse interessato (sono un illuso?) posso spiegare meglio il mio ragionamento.
Scusate per la lunghezza.
@blackbishop: non ho seguito i dettagli del tuo ragionamento. Ho però una domanda preliminare: se non usi un approccio frequentista sui primi $n$ numeri naturali ma, come dici tu, consideri tutti i numeri maggiori di $n$, per parlare di probabilità hai bisogno di fissare una misura di probabilità (sostanzialmente sui naturali). Qual è la misura di probabilità che stai considerando (dal momento che non si può usare quella uniforme)?
premessa: stai parlando con uno che non ha ancora seguito nemmeno un corso di elementi di probabilità, figurati cosa ho capito.
il punto per me è semplice: vediamo come sono fatti i numeri (e in particolare i quadrati dei numeri) maggiori di un certo parametro fissato.
supponiamo soltanto che, come ho detto, ogni cifra sia equiprobabilmente al posto [tex]$k \text{-esimo}$[/tex] di ogni numero [tex]$n$[/tex] (come è ragionevole, tra l'altro).
allora segue quello che ho detto, credo.
il punto per me è semplice: vediamo come sono fatti i numeri (e in particolare i quadrati dei numeri) maggiori di un certo parametro fissato.
supponiamo soltanto che, come ho detto, ogni cifra sia equiprobabilmente al posto [tex]$k \text{-esimo}$[/tex] di ogni numero [tex]$n$[/tex] (come è ragionevole, tra l'altro).
allora segue quello che ho detto, credo.
correggo quanto scritto nel mio precedente messaggio:
al crescere dell'intero che si considera, per valori compresi tra $ 10^n e 10^(n+1) $,
la probabilità:
descresce tra $ 10^n $ e $sqrt(7)*10^n$
cresce tra $ sqrt(7)*10^n $ e $sqrt(8)*10^n$
decresce tra $ sqrt(8)*10^n $ e $sqrt(70)*10^n$
cresce tra $ sqrt(70)*10^n $ e $sqrt(80)*10^n$
e infine decresce tra $ sqrt(80)*10^n $ e $sqrt(100)*10^n=10^(n+1)$
Per blackbishop13: ritengo che tu consideri equiprobabili i
numeri compresi tra $10^n$ e $10^(n+1)$
e a me pare che il conto di Rigel sia corretto (circa 0.085).
Il $P^((3))$ mi sembra sottostimato a me viene $0.08 bar(4)$
Ciao,
Andrea
al crescere dell'intero che si considera, per valori compresi tra $ 10^n e 10^(n+1) $,
la probabilità:
descresce tra $ 10^n $ e $sqrt(7)*10^n$
cresce tra $ sqrt(7)*10^n $ e $sqrt(8)*10^n$
decresce tra $ sqrt(8)*10^n $ e $sqrt(70)*10^n$
cresce tra $ sqrt(70)*10^n $ e $sqrt(80)*10^n$
e infine decresce tra $ sqrt(80)*10^n $ e $sqrt(100)*10^n=10^(n+1)$
Per blackbishop13: ritengo che tu consideri equiprobabili i
numeri compresi tra $10^n$ e $10^(n+1)$
e a me pare che il conto di Rigel sia corretto (circa 0.085).
Il $P^((3))$ mi sembra sottostimato a me viene $0.08 bar(4)$
Ciao,
Andrea
"Rigel":
Per ogni ciclo, le frequenze relative massime e minime sono dunque
$q_{min} = \frac{q(7\cdot 10^n)-1}{7\cdot 10^n - 1} = \frac{10^n-1}{9\cdot(7\cdot 10^n-1)} \sim \frac{1}{63} = 0.015873$,
$q_{max} = \frac{q(8\cdot 10^n)-1}{8\cdot 10^n - 1} = \frac{10^{n+1}-1}{9\cdot(8\cdot 10^n-1)} \sim \frac{10}{72} = 0.13\bar{8}$
Grazie Rigel per la spiegazione chiara e dettagliata
Mi domando allora se (e come) è possibile ottenere una frequenza relativa "media".
Da quanto ho letto sulla "legge di Benford"... mi aspetto a questo punto cha la frequenza media possa essere $log_{10}(1+1/7)$.
Se l'ho capita bene, questa dovrebbe essere la frequenza relativa dei naturali che iniziano per 7 compresi nell'insieme finito ${1,...,n}$ con $n$ grande a piacere ?
@blackbishop13
Il tuo approccio mi piace già di più, anche se non ho verificato tutti calcoli - in pratica mi sono fermato al primo passaggio verificando i casi per la prima cifra (e poi mi fido). Questo permette, come dicevo, una stima puntuale su un universo dei numeri non limitato.
Quindi, fino alla terza cifra che hai calcolato, quanti sarebbero i possibili gruppi di tre cifre? E come calcoli il tuo (chiamiamolo così) residuo, manualmente?
Questo perché stavo cercando un metodo per trovare una formula, ma non mi sembra immediata... mi sembrerebbe più appropriato un algoritmo; che se potessi generalizzare potrebbe calcolare una stima per i quadrati con prima cifra qualunque, e allora sarebbe facile fare la verifica (la somma deve risultare 1).
Il tuo approccio mi piace già di più, anche se non ho verificato tutti calcoli - in pratica mi sono fermato al primo passaggio verificando i casi per la prima cifra (e poi mi fido
). Questo permette, come dicevo, una stima puntuale su un universo dei numeri non limitato.Quindi, fino alla terza cifra che hai calcolato, quanti sarebbero i possibili gruppi di tre cifre? E come calcoli il tuo (chiamiamolo così) residuo, manualmente?
Questo perché stavo cercando un metodo per trovare una formula, ma non mi sembra immediata... mi sembrerebbe più appropriato un algoritmo; che se potessi generalizzare potrebbe calcolare una stima per i quadrati con prima cifra qualunque, e allora sarebbe facile fare la verifica (la somma deve risultare 1).
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