All'inseguimento!!!
Per la serie: un problema al giorno...
Dunque, supponiamo che un corpo (inizialmente in (0;0))si muova in un sistema di assi cartesiani lungo l'asse y. E supponiamo anche che un secondo corpo (inizialmente in (a;0) , a>0) si metta all'inseguimento del primo mantenendo da esso una distanza fissa pari ad a.
Per inseguimento intendo che, detta phi la traiettoria del secondo corpo, la tangente a phi in un punto P tagli l'asse y in un punto Q tale che PQ=a. Insomma, il secondo corpo rimane nella scia del primo...
Trovare l'equazione della traiettoria phi.
goblyn
Dunque, supponiamo che un corpo (inizialmente in (0;0))si muova in un sistema di assi cartesiani lungo l'asse y. E supponiamo anche che un secondo corpo (inizialmente in (a;0) , a>0) si metta all'inseguimento del primo mantenendo da esso una distanza fissa pari ad a.
Per inseguimento intendo che, detta phi la traiettoria del secondo corpo, la tangente a phi in un punto P tagli l'asse y in un punto Q tale che PQ=a. Insomma, il secondo corpo rimane nella scia del primo...
Trovare l'equazione della traiettoria phi.
goblyn
Risposte
caro goblyn
un classico problema [del tipo ‘cane che insegue la lepre senza mai raggiungerla…], un poco datato ma sempre assai interessante [almeno per me…].
Indiciamo con x(t) e y(t) [entrambe funzioni del tempo] le coordinate dell’oggetto ‘inseguitore’ P e con z(t) l’ordinata [l’ascissa vale 0 per definizione] dell’oggetto ‘inseguito’ T. In base ai dati del problema, indicato con alfa l’angolo [negativo] che il vettore velocità la velocità di P forma con l’asse x si ha per il teorema di Pitagora…
tg (alfa) = - sqr (a^2-x^2)/x [1]
… ove con sqr (*) si intende l’operazione ‘radice quadrata’.
Ricordando che data una curva qualsiasi y(x) la tangente ora calcolata coincide con la derivata del primo ordine della funzione stessa, possiamo impostare l’equazione differenziale…
y’ = sqr(a^2-x^2)/x [2]
Tale equazione è risolvibile mediante semplice integrazione diretta e [aiutandosi con il manuale di matematica se non si ha voglia di faticare troppo…] la soluzione è data da…
y = sqr(a^2-x^2) – a*log [[ a+sqr(a^2-x^2)]/x] + c [3]
… ove c è la solita ‘constante arbitraria’ che si trova imponendo le ‘condizioni iniziali’ y = 0 per x = a. Con questi valori si trova che c=0 per cui la soluzione è…
y = sqr(a^2-x^2) – a* log [[a+sqr(a^2-x^2)]/x] [4]
Questo problema di ‘inseguimento’ descrive la traiettoria di un missile lanciato all’inseguimento di un ‘target’ [un aereo oppure un altro missile] che punta sempre nella direzione giusta regolando la velocità in modo da mantenere costante la distanza da esso. Siccome però in genere lo scopo primario di un missile antiaereo non è solo quello di inseguire un bersaglio ma distruggerlo si potrebbe impostare il problema fissando a priori le velocità [costanti] del bersaglio e del missile e stabilire quali sono le condizioni affinchè il bersaglio sia prima raggiunto e poi… kapput... che ne dici?…
proviamo?…
cordiali saluti!…
lupo grigio
un classico problema [del tipo ‘cane che insegue la lepre senza mai raggiungerla…], un poco datato ma sempre assai interessante [almeno per me…].
Indiciamo con x(t) e y(t) [entrambe funzioni del tempo] le coordinate dell’oggetto ‘inseguitore’ P e con z(t) l’ordinata [l’ascissa vale 0 per definizione] dell’oggetto ‘inseguito’ T. In base ai dati del problema, indicato con alfa l’angolo [negativo] che il vettore velocità la velocità di P forma con l’asse x si ha per il teorema di Pitagora…
tg (alfa) = - sqr (a^2-x^2)/x [1]
… ove con sqr (*) si intende l’operazione ‘radice quadrata’.
Ricordando che data una curva qualsiasi y(x) la tangente ora calcolata coincide con la derivata del primo ordine della funzione stessa, possiamo impostare l’equazione differenziale…
y’ = sqr(a^2-x^2)/x [2]
Tale equazione è risolvibile mediante semplice integrazione diretta e [aiutandosi con il manuale di matematica se non si ha voglia di faticare troppo…] la soluzione è data da…
y = sqr(a^2-x^2) – a*log [[ a+sqr(a^2-x^2)]/x] + c [3]
… ove c è la solita ‘constante arbitraria’ che si trova imponendo le ‘condizioni iniziali’ y = 0 per x = a. Con questi valori si trova che c=0 per cui la soluzione è…
y = sqr(a^2-x^2) – a* log [[a+sqr(a^2-x^2)]/x] [4]
Questo problema di ‘inseguimento’ descrive la traiettoria di un missile lanciato all’inseguimento di un ‘target’ [un aereo oppure un altro missile] che punta sempre nella direzione giusta regolando la velocità in modo da mantenere costante la distanza da esso. Siccome però in genere lo scopo primario di un missile antiaereo non è solo quello di inseguire un bersaglio ma distruggerlo si potrebbe impostare il problema fissando a priori le velocità [costanti] del bersaglio e del missile e stabilire quali sono le condizioni affinchè il bersaglio sia prima raggiunto e poi… kapput... che ne dici?…
proviamo?…
cordiali saluti!…
lupo grigio
Mi piace la tua idea...
goblyn
goblyn
Eccomi.
Dunque, ho variato un po' il problema.
Un aereo viaggia orizzontalmente con velocità costante v. Inizialmente (t=0) si trova nel punto (0;h).
Nel punto (a;0) (a>0) c'è una postazione antiaerea che spara all'istante t=0 un missile con una velocità iniziale w che forma un angolo alfa con l'orizzontale (w e alfa incogniti, alfa compreso tra 0 e 90°).
Trovare alfa e w affinché il missile colpisca l'aereo.
Equazioni del moto dell'aereo:
x = vt
y = h
Equazione del moto del missile
x = a + wt*cos(alfa)
y = wt*sin(alfa) - 0.5gt^2
Imponiamo che le quote (y) del missile e dell'aereo siano uguali e otteniamo:
t = (w/g)*sin(alfa) - radq((w*sin(alfa)/g)^2-2h/g)
a patto che sia w*sin(alfa)>=radq(2gh) (cioè la velocità iniziale verticale dev'essere quella che un corpo in caduta libera da un'altezza h avrebbe quando tocca terra: come dire che il missile deve avere energia sufficiente per arrivare alla quota h vincendo il campo gravitazionale)
Bisogna imporre anche che le ascisse dell'aereo all'istante t e quella del missile siano uguali.
I conti sono un po' lunghi, non li riporto. Si ottiene una condizione che lega w e alfa (errori di conto sono sempre possibili!!!):
Siano:
l = -(v/g)*(2h*cos(alfa)+a*sin(alfa))
m = -(2/g)*cos(alfa)*(h*cos(alfa)+a*sin(alfa))
deltaquarti = ((va/g)^2)*(sin(alfa)^2)-2*((a^3)/g)*sin(alfa)*cos(alfa)-2*((a^2)*h/g)*(cos(alfa)^2)
w = (l - sqrt(deltaquarti))/m
Supponiamo che:
v=2500 km/h (velocità aereo)
g=9.8 m/s^2
a=1 km
h=3.5 km
Ho tracciato un grafico della velocità del missile (w) in funzione dell'angolo di lancio.
L'angolo minimo è intorno ai 21°, con una velocità w intorno ai 2500 km/h.
Poi il grafico sale rapidamente, con un angolo di 70° avremmo bisogno di lanciare il missile a 7200 km/h. Con 80° la velocità raddoppia... (14400km/h circa)... Mi spiace non poter mettere il grafico!
molto interessante!!!
goblyn
Dunque, ho variato un po' il problema.
Un aereo viaggia orizzontalmente con velocità costante v. Inizialmente (t=0) si trova nel punto (0;h).
Nel punto (a;0) (a>0) c'è una postazione antiaerea che spara all'istante t=0 un missile con una velocità iniziale w che forma un angolo alfa con l'orizzontale (w e alfa incogniti, alfa compreso tra 0 e 90°).
Trovare alfa e w affinché il missile colpisca l'aereo.
Equazioni del moto dell'aereo:
x = vt
y = h
Equazione del moto del missile
x = a + wt*cos(alfa)
y = wt*sin(alfa) - 0.5gt^2
Imponiamo che le quote (y) del missile e dell'aereo siano uguali e otteniamo:
t = (w/g)*sin(alfa) - radq((w*sin(alfa)/g)^2-2h/g)
a patto che sia w*sin(alfa)>=radq(2gh) (cioè la velocità iniziale verticale dev'essere quella che un corpo in caduta libera da un'altezza h avrebbe quando tocca terra: come dire che il missile deve avere energia sufficiente per arrivare alla quota h vincendo il campo gravitazionale)
Bisogna imporre anche che le ascisse dell'aereo all'istante t e quella del missile siano uguali.
I conti sono un po' lunghi, non li riporto. Si ottiene una condizione che lega w e alfa (errori di conto sono sempre possibili!!!):
Siano:
l = -(v/g)*(2h*cos(alfa)+a*sin(alfa))
m = -(2/g)*cos(alfa)*(h*cos(alfa)+a*sin(alfa))
deltaquarti = ((va/g)^2)*(sin(alfa)^2)-2*((a^3)/g)*sin(alfa)*cos(alfa)-2*((a^2)*h/g)*(cos(alfa)^2)
w = (l - sqrt(deltaquarti))/m
Supponiamo che:
v=2500 km/h (velocità aereo)
g=9.8 m/s^2
a=1 km
h=3.5 km
Ho tracciato un grafico della velocità del missile (w) in funzione dell'angolo di lancio.
L'angolo minimo è intorno ai 21°, con una velocità w intorno ai 2500 km/h.
Poi il grafico sale rapidamente, con un angolo di 70° avremmo bisogno di lanciare il missile a 7200 km/h. Con 80° la velocità raddoppia... (14400km/h circa)... Mi spiace non poter mettere il grafico!
molto interessante!!!
goblyn
E infatti ci è scappato un errore di segno...
w=(l+radq(deltaquarti))/m
Altrimenti per alfa=90° ci voleva una velocità infinita!!!
I numeri nelle ultime righe del post scorso sono quindi sbagliati.
Per alfa=90° ci vuole una w=3.5v circa con i dati di prima. E a sto punto il grafico non sale così rapidamente come dicevo prima. L'angolo limite naturalmente rimane lo stesso.
ciao!
goblyn
w=(l+radq(deltaquarti))/m
Altrimenti per alfa=90° ci voleva una velocità infinita!!!
I numeri nelle ultime righe del post scorso sono quindi sbagliati.
Per alfa=90° ci vuole una w=3.5v circa con i dati di prima. E a sto punto il grafico non sale così rapidamente come dicevo prima. L'angolo limite naturalmente rimane lo stesso.
ciao!
goblyn
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