Alcuni integrali...non standard 2

[Piera4]

Come si capisce dal titolo, questo topic è il seguito di un altro, spero solo che a qualcuno possa interessare!!
Non uso MathMl perchè se sbaglio a scrivere poi non lo potrei vedere (purtroppo non lo posso istallare)

1) Sia g(x) = [f(x) +f ''(x) ]*sen x
con f(x) definita su R continua e due volte derivabile,
sapendo che int[0 < x < Pi] g(x) dx = 5
e che f(Pi) = 2, calcolare f(0).

2) Determinare una primitiva della funzione
f(x) =(xe^x + e^x)*[ln x]^2 - 2[e^x]/x

3) Calcolare int[0 < x < 1] F(x) dx
dove
F(x)= int[0
4) Dimostrare che
int[0 < x <2Pi] e^(cos x) * cos( x + sen x) dx = 0.

[MaMo2]

1) f(0) = 3.

[Piera4]

@MaMo ok!

[Nidhogg]

"MaMo":1) f(0) = 3.

MaMo sono interessato al procedimento da te utilizzato per calcolare il valore della funzione in zero. Puoi spiegarmi come hai ragionato? Grazie!

[Piera4]

g(x) = f(x)*sen x +f ''(x) *sen x
integrando per parti si ottiene
int[0 pi]f(x)*sen x dx = -[f(x)* cos x] (tra 0 e pi) +
int[0 pi] f '(x) cos x dx = -f(pi) cos pi + f(0) cos 0 + int[0 pi] f '(x) cos x dx (1)

ancora per parti , si ha
int[0 pi]f ''(x)*sen x dx = [f ' (x) sen x] ( tra 0 e pi) - int[0 pi]f ' (x) cos x dx = -int[0 pi]f ' (x) cos x dx (2)

sommando (1) + (2) si ha
f(pi) + f(0) che deve essere uguale a 5 , ma f(pi) = 2, quindi f(0) = 3

[Sk_Anonymous]

N° 2
[size=150]$int (xe^x+e^x)log^2x dx=intlog^2xd(xe^x)=xe^xlog^2x-2inte^xlogxdx$[/size]

[size=150]$int-2e^x/xdx=-2inte^xd(logx)=-2e^xlogx+2inte^xlogx dx$[/size]

Sommando ,una primitiva E puo' essere:

[size=150]$E=xe^xlog^2x-2e^xlogx$[/size]

Archimede

[Sk_Anonymous]

N° 3
[size=150]$F(x)=int_0^x(2t+1)d(-e^(-t^2+t))-4int_0^xte^(-t^2+t)dt$[/size]
Ovvero:
[size=150]$F(x)=|-(2t+1)e^(-t^2+t)|_0^x+2int_0^xe^(-t^2+t)dt-4int_0^xte^(-t^2+t)dt$[/size]
Cioe':
[size=150]$F(x)=-(2x+1)e^(-x^2+x)+2int_0^x(-2t+1)e^(-t^2+t)dt+1$[/size]
Da cui:
[size=150]$F(x)=-(2x+1)e^(-x^2+x)+2int_0^xe^(-t^2+t)d(-t^2+t)+1$[/size]
quindi:
[size=150]$F(x)=-(2x+1)e^(-x^2+x)+2|e^(-t^2+t)|_0^x+1=-(2x+1)e^(-x^2+x)+2e^(-x^2+x)-1$[/size]
Vale a dire:
[size=150]$F(x)=(-2x+1)e^(-x^2+x)-1=d/(dx)(e^(-x^2+x)-x)$[/size]
Infine:
[size=150]$int_0^1F(x)dx=|e^(-x^2+x)-x|_0^1=-1$[/size]
Archimede
P.S.
Non so se i calcoli sono esatti,ma in ogni caso complimenti a Pieragalli per i
notevoli esercizi proposti.

[Piera4]

@Archimede, anch'io nel 3) ho trovato come risultato -1, quindi penso che i calcoli siano giusti.

Per quanto riguarda il 4) (quello decisamente più difficile) dò un suggerimento : provare a utilizzare l'analisi complessa... di più non posso dire altrimenti diventa troppo facile

[Piera4]

Mi rendo conto che il 4) esercizio è impossibile da risolvere in base a come l'ho formulato!!

Il testo originario dell'esercizio è :
calcolando int e^z dz lungo il cerchio |z| = 1 (z variabile complessa), dimostrare che int[0 < x <2Pi] e^(cos x) * cos( x + sen x) dx = 0.

essendo la funzione f(z)= e^z olomorfa sul cerchio,
si ha
int e^z dz = 0
il cerchio ha equazione z = e^(ix) con 0<= x <=2pi, poichè differenziando l'equazione del cerchio si ottiene dz = i e^(ix) dx, l'integrale diventa
int [0
applicando la formula di Eulero (e^(ix) = cos x + i sen x) l'integrale diventa
int [0 int [0 int [0 int [0
i*int[0
da quest'ultima identità segue che
int [0

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