Ah le derivate...

[fu^2]

sia f derivabile in [a,b] e $f'(a)=f'(b)$; dimostrare che esiste $phi\in[a,b]$ tale che
$f'(phi)=(f(phi)-f(a))/(phi-a)


buon divertimento

[fu^2]

a nessuno interessa?...
mi sembra un esercizio carino alla portata di tutti alla fine

[fu^2]

"Thyrel":a occhio direi che ha a che fare col teorema di lagrange

a occhio.. ma mica è un esercizio per me...
io l'ho fatto, lo propongo di farlo a voi se vi interessa

[Mega-X]

Anzitutto premetto una scusa alla mia ignoranza su come procedere..

Sono arrivato a questo punto:

$EE d \in [a, \phi] : f'(d) = \frac{f(\phi) - f(a)}{\phi - a}$
$EE c \in [a, b] : f'(c) = 0$ (anche se non riesco a vederne l'applicazione sinceramente..)

E poi?

Chiedo solo un suggerimento, non solo ho perso la pratica nel "teoremizzare", ma sono sempre stato un po "tardo" nel dimostrare teoremi..

[fu^2]

finalmente qualcuno a cui piaciono i giochi di analisi!!

suggerimento:

nell'intervallo [a,b] puoi sempre trovare un massimo e un minimo.
$f'(a)=f'(b)$ allora escludiamo che $f'(x)$ sia costante o una retta, casi banali.
supponiamo per assurdo che $a,b$ siano due estremanti
per esempio f(a) un massimo dell'intervallo,

continuo della dimostrazione (solo in caso di emergenza)

allora si ha che $f'(a)>(f(b)-f(a))/(b-a)$ per ipotesi questo implica che $f'(b)=f'(a)>(f(b)-f(a))/(b-a)$. Allora possiamo trovare un $xi\in\[a,b]:f(xi)<(f(b)-f(a))/(b-a)(xi-a)+f(a)=>(f(xi)-f(a))/(xi-a)<(f(b)-f(a))/(b-a)$
quindi esiste $xi$ tc la concavità in [a,b] sia uguale su tutto l'intervallo. assurdo!
allora deve esistere un altro punto $xi$ tale che $f'(xi)>=f'(a)=f'(b)$ quindi basta porre $f'(xi)>=(f(xi)-f(a))/(xi-a)>=f'(a)$ e anche $f'(xi)<=(f(xi)-f(a))/(xi-a)<=f'(b)$ per evitare l'assurdo, ma essendo che vale la doppia implicazione concludiamo che $f'(a)=f'(b)=>f'(xi)=(f(xi)-f(a))/(xi-a)$ ovvero $xi$ deve essere un estremante interno a $[a,b]$.
cvd

la dimostrazione potrebbe contenere errori, non avendo soluzioni, però mi pare abbastanza correttà ciaoo